曲线上没有四个点共面

hbghlyj

曲线$(\cos t,\sin t,t),t\in[0,2π)$上没有四个点共面.

用Asymptote文档的示例代码画图：
import graph3;

size(0,200);
size3(200,IgnoreAspect);

currentprojection=orthographic(4,6,3);

real x(real t) {return cos(2pi*t);}
real y(real t) {return sin(2pi*t);}
real z(real t) {return t;}

path3 p=graph(x,y,z,0,2.7,operator ..);

draw(p,Arrow3);

scale(true);

xaxis3(XZ()*"$x$",Bounds,red,InTicks(Label,2,2));
yaxis3(YZ()*"$y$",Bounds,red,InTicks(beginlabel=false,Label,2,2));
zaxis3(XZ()*"$z$",Bounds,red,InTicks);

realnumber

致各位论坛网友：

由于 hbghlyj 操作数据库失误导致由 2023-9-26 至 2023-11-5 间期的所有帖子的内文都被清空，在此给大家真诚道歉。

现在我们正在浏览这期间的帖子，努力回忆内容，尽可能地多恢复一些，如果您还记得本帖原本的内容，也希望您能编辑回来，麻烦各位了。

kuing

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kuing

凭印象回忆上面几楼：

2# 大概是说，假设有四点共面于 `\alpha`，则将整个图形投影到另一平面，投影的方向是平行于 `\alpha`，则 `\alpha` 投影成直线，曲线投影成二次曲线，则二次曲线与直线有四交点，不可能。

我 3# 指出曲线的投影并不是二次曲线，推理不对。

4# 换了方向，假设有四点共面，该面的方程为 Ax+By+Cz+D=0，则 Acost+Bsint+Ct+D=0 在 `t\in[0,2\pi)` 上有四解，
然后我忘了具体怎么论证了……

我 5# 接着这个思路，用另一种方式写下去：
`f(t)=A\cos t+B\sin t+Ct+D` 在 `[0,2\pi)` 上有四零点，则
`f'(t)=-A\sin t+B\cos t+C=\sqrt{A^2+B^2}\sin(t+\varphi)+C` 在 `[0,2\pi)` 上有三零点，
而一个周期内的正弦函数不可能与平行于 x 轴的直线有三个交点，所以这是不成立的。
这样应该比较容易理解。