如何证明这道不等式

wsdjzlh

\[ \forall x,y>0  

   
证明     \quad\left(e^{y}-y-1\right) e^{x}>\sin (x+y)-\sin x-y \cos x  \]

战巡

泰勒展开呗

左边有
\[(e^y-y-1)e^x=(1+y+\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3!}+...-y-1)e^x=\frac{y^2e^x}{2}+\frac{y^3e^x}{3!}+\frac{y^4e^x}{4!}+...+\frac{y^n}{n!}e^x+...\]

右边有
\[\sin(x+y)-\sin(x)-y\cos(x)=\left(\sin(x)+y\cos(x)-\frac{\sin(x)}{2}y^2-\frac{\cos(x)}{6}y^3+...\right)-\sin(x)-y\cos(x)\]
\[=-\frac{\sin(x)}{2}y^2-\frac{\cos(x)}{6}y^3+...+(-1)^{n}\frac{\sin(x)}{(2n)!}y^{2n}+(-1)^n\frac{\cos(x)}{(2n+1)!}y^{2n+1}+...\]

注意$e^x>1\ge|\cos(x)|, e^x>1\ge |\sin(x)|$，左边每一项都大于右边同次的对应项

kuing

其实很简单……
注意到当 `y=0` 时 左边 = 右边，于是令
\[f(y)=(e^y-y-1)e^x-\sin(x+y)+\sin x+y\cos x,\]
求导再求导得
\begin{align*}
f'(y)&=(e^y-1)e^x-\cos(x+y)+\cos x,\\
f''(y)&=e^{x+y}+\sin(x+y)>1+\sin(x+y)\geqslant0,
\end{align*}
由此即得 `f'(y)>f'(0)=0`，进而 `f(y)>f(0)=0`。

isee

kuing 发表于 2024-5-20 03:31
其实很简单……
注意到当 `y=0` 时 左边 = 右边，于是令
\[f(y)=(e^y-y-1)e^x-\sin(x+y)+\sin x+y\cos x,\] ...

不想，你已经半夜解决了.

我也是由取等条件来(参考予一人回答)的，哈哈，多求了一次导，知乎提问 zhihu.com/question/656536332/answer/3503895299

不知是不是同一朋友.

wsdjzlh

isee 发表于 2024-5-20 09:39
不想，你已经半夜解决了.

我也是由取等条件来(参考予一人回答)的，哈哈，多求了一次导，知乎提问 https: ...

是的哈 谢谢大佬

wsdjzlh

kuing 发表于 2024-5-20 03:31
其实很简单……
注意到当 `y=0` 时 左边 = 右边，于是令
\[f(y)=(e^y-y-1)e^x-\sin(x+y)+\sin x+y\cos x,\] ...

谢佬

wsdjzlh

战巡 发表于 2024-5-20 01:50
泰勒展开呗

左边有

谢佬