根式三角周期与最值计算

virus

\begin{align*}
f(x)= \frac{\cos x-\sin x-1}{\sqrt{6+2\cos x+4\sin x}}，x\inR
\end{align*}
计算$f(x)$的周期与极值

战巡

遇事不决万能公式呗...

令$t=\tan(\frac{x}{2})$，则
\[f(x)=\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}-1}{\sqrt{6+2\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{8t}{1+t^2}}}\]
\[=-\frac{t(1+t)}{\sqrt{(1+t^2)(t^2+2t+2)}}\]
\[\frac{d}{dt}f(x)=-\frac{(1+2t)(t^2+t+2)}{((1+t^2)(t^2+2t+2))^{\frac{3}{2}}}=0\]
\[t=-\frac{1}{2}=\tan(\frac{x}{2})\]

先考虑$x\in [-\pi,\pi)$，那么$t\in [-\infty,+\infty]$，不难得到上面那个是最大值。

最小值则要考虑区间端点，有
\[\lim_{t\to \infty}f(x)=-1, \lim_{t\to -\infty}f(x)=-1\]

故此最小值在$t=\pm\infty$时取到，此时$x=\pm\pi$

上述结果说明，$x=(2k+1)\pi$为极小值，$x=-2\arctan(\frac{1}{2})+2k\pi$为极大值，周期显然为$2\pi$。

kuing

注意到
\[f(x)=\frac{\cos x+1-(\sin x+2)}{\sqrt{(\cos x+1)^2+(\sin x+2)^2}}=\frac{u-1}{\sqrt{u^2+1}},\]
其中
\[u=\frac{\cos x+1}{\sin x+2}\in\left[0,\frac43\right],\]
由此易得
\[f(x)\in\left[-1,\frac15\right].\]

isee

kuing 发表于 2024-6-9 13:52
注意到
\[f(x)=\frac{\cos x+1-(\sin x+2)}{\sqrt{(\cos x+1)^2+(\sin x+2)^2}}=\frac{u-1}{\sqrt{u^2+1}}, ...

好眼熟的处理~

Tesla35

isee 发表于 2024-6-9 17:43
好眼熟的处理~

早年重庆的高考题改编

kuing

Tesla35 发表于 2024-6-13 23:18
早年重庆的高考题改编

嗯，《撸题集》P.1025 FAQ 31. （2008 重庆理数 10）