多项式函数题

nttz

设$P(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$,其中a、b、c、d为常数
若$P(1) = 2018,P(2) =4036,P(3)=6054$,试计算$\frac{1}{4}[P(11)+P(-7)]$

Czhang271828

经平移, 定义 $Q(x)=\frac{P(x+2)-4036}{2018}$.

设 $Q(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$, 其中 $a$, $b$, $c$, $d$ 为常数. 若 $Q(-1) =-1$, $Q(0) =0$, $Q(1)=1$, 试计算 $\frac{1}{4}[Q(9)+Q(-9)]$.

kuing

为方便码字，记 `k=2018`，条件即 `P(1)=k`, `P(2)=2k`, `P(3)=3k`，于是令
\[f(x)=P(x)-kx,\]
则有
\[f(1)=f(2)=f(3)=0,\]
由于 `f(x)` 依然是首项为 `1` 的四次函数，所以必能分解为
\[f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m),\]
则有
\begin{align*}
f(11)&=10\cdot9\cdot8\cdot(11-m),\\
f(-7)&=(-8)(-9)(-10)(-7-m),
\end{align*}
相加得
\[f(11)+f(-7)=8\cdot9\cdot10\cdot(11+7),\]
代回 `P` 即
\[P(11)+P(-7)-k(11-7)=8\cdot9\cdot10\cdot(11+7),\]
代回 `2018` 计算最终得
\[\frac14[P(11)+P(-7)]=5258.\]

其妙

“新高考数学解题之路研讨qq群（群号60519007）”群里某老师发布的据说为香港高一学生的相关试题：

nttz

其妙 发表于 2024-8-19 19:56
“新高考数学解题之路研讨qq群（群号60519007）”群里某老师发布的据说为香港高一学生的相关试题：
...

是不是可以设$f(x) = a(x-2)(x+3)(x-4)+5,f(1)=9,a=-\frac{5}{12}$,代入$f(6)$怎么是-25?
第二题不会

Czhang271828

nttz 发表于 2024-8-22 19:17
是不是可以设$f(x) = a(x-2)(x+3)(x-4)+5,f(1)=9,a=-\frac{5}{12}$,代入$f(6)$怎么是-25?
第二题不会 ...

第二题问题: 给定同余关系
\begin{align}
f(x)&\equiv x+2 \pmod{(x-1)(x-4)},\\[6pt]
f(x)&\equiv 3x+4\pmod {(x-2)(x-3)}.
\end{align}
求 $f(x)\equiv \,?\pmod{(x-1)(x-3)}$.
--------------------------------------------
解答步骤: 依照中国剩余定理, $(x-1)(x-4)$ 与 $(x-2)(x-3)$ 互素, 因此不妨设 $\deg f\leq 4$. 在模去 $(x-1)(x-3)$ 意义下, $f$ 是线性函数. 由 $f(1)=3$ 与 $f(3)=13$ 可知
\begin{equation}
f\equiv 3x-2\pmod {(x-1)(x-3)}.
\end{equation}