计算 n 阶行列式的值

TSC999

hbghlyj

TSC999 发表于 2024-9-28 06:21
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccccc}
2 \cos \alpha & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right|
$$

沿第一行展开：
$$D_n = 2\cos\alpha \cdot M_{1,1} - 1 \cdot M_{1,2}\tag1\label1$$
其中 $M_{i,j}$ 是去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的子式。

$M_{1,1}$ 是一个 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵，其形式与 $D_n$ 相同，但少一行和一列。因此，$M_{1,1} = D_{n-1}$.
$M_{1,2}$ 是一个 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵，沿着第一列展开，它就会与 $D_{n-2}$ 相同。因此，$M_{1,2} = D_{n-2}$.

代入\eqref{1}：
$$D_n = 2\cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2}$$
因为特征根是 $e^{\pm i α}$，$D_n = c_1 (e^{i α})^n + c_2 (e^{-i α})^n$（其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是待确定的参数）
对于 $n=1$，$D_1 = 2\cos\alpha$.
对于 $n=2$，$D_2 = 4\cos^2\alpha-1$.
可以列出二元一次方程组求解出 $c_1,c_2$：$c_1=\frac{e^{i \alpha}}{2i\sin (\alpha)},c_2=-\frac{e^{-i \alpha}}{2i\sin (\alpha)}$.
$$
D_n=\frac{\left(e^{i \alpha}\right)^{n+1}-\left(e^{-i \alpha}\right)^{n+1}}{2i \sin (\alpha)}
$$
使用 $\sin(z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}$，可以写成$D_n=\sin((n+1) α)\csc(α)$.
根据第二类切比雪夫多项式的定义，可以写成$D_n=U_n(\cos(α))$.

TSC999

递推公式是对的，但是结果好像不对。当 n=1, 2, 3, 4, 5, 6 时，直接求行列式的值有以下结果：

hbghlyj

TSC999 发表于 2024-9-28 11:58
当 n=1, 2, 3, 4, 5, 6 时，直接求行列式的值有以下结果：

\begin{align*}
U_0(x) &= 1 \\
U_1(x) &= 2x \\
U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\
U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\
U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\
U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\
U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\
U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \\
U_8(x) &= 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \\
U_9(x) &= 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x \\
U_{10}(x) &= 1024x^{10} - 2304 x^8 + 1792 x^6 - 560 x^4 + 60 x^2-1
\end{align*}

hbghlyj

TSC999 发表于 2024-9-28 11:58
递推公式是对的，但是结果好像不对。

但是结果好像是对的。

hbghlyj

functions.wolfram.com/Polynomials/ChebyshevU/

1. ChebyshevU[n + 1, z] + ChebyshevU[n - 1, z] == 2 z ChebyshevU[n, z]

复制代码

$$U_{n-1}(z)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \frac{(-1)^k(n-1-k)!(2 z)^{n-1-2 k}}{k!(n-1-2 k)!}$$
$$U_n(z)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{(-1)^k(n-k)!(2 z)^{n-2 k}}{k!(n-2 k)!}$$
$$U_{n+1}(z)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}$$
为证明 $U_{n-1}(z)+U_{n+1}(z)=2 z U_n(z)$，右侧
\begin{align*}
2zU_n(z)&= 2z \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n-k)!(2 z)^{n-2k}}{k!(n-2k)!}\\
&= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n-k)!(2 z)^{n+1-2k}}{k!(n-2k)!}\\
&= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}\cdot\frac{n+1-2k}{n+1-k}\\
&= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}\left[1-\frac{k}{n+1-k}\right]\\
&= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}-\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}\cdot\frac{k}{n+1-k}\\
&= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}-\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{(k-1)!(n+1-2 k)!}\\
\text{第二个求和中用 }&k+1\text{ 替换 }k\\
&= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k(n+1-k)!(2 z)^{n+1-2 k}}{k!(n+1-2 k)!}+\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor-1} \frac{(-1)^k(n-1-k)!(2 z)^{n-1-2k}}{k!(n-1-2 k)!}\\
&=U_{n+1}(z)+U_{n-1}(z)
\end{align*}

hbghlyj

$$
U_n(z)=\frac{\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)^{n+1}-\left(z-\sqrt{z^2-1}\right)^{n+1}}{2 \sqrt{z^2-1}}
$$
代入 $z=\cos(\alpha)$ 有
$$U_n(\cos(\alpha))=\sin((n+1)\alpha)\csc(\alpha)$$

TSC999

hbghlyj 老师的递推公式和最终结果都是对的！
我在用 mathematica 检验时没有给角度 α 赋值，就出了问题。不知道为什么要给角度赋值呢？

kuing

TSC999 发表于 2024-9-29 18:16
hbghlyj 老师的递推公式和最终结果都是对的！
我在用 mathematica 检验时没有给角度 α 赋值，就出了问题。 ...

不用赋值，在每一句后面加 // Simplify 也可以。