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源自知乎提问
即需证 $4\cos\frac23>\pi$ .
考虑 $x\in(0,\pi/2)$ 时， $y=\cos x$ 在 $x=0$ 处带拉格朗日余项展开\begin{align*}
\cos x&=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{\cos\theta x}{8!}x^8,\,\theta\in(0,1)\\[1ex]
&>1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+0
\end{align*} 此时令 $x=\frac23$ 便知 $4\cos\frac23>4\cdot25781/32805=3.1435\cdots>\pi$ 便完成证明，不过，这个次数达到了 6 次，并不方便手算.
下面改进下计算方式.
直观上猜测，归纳构造一个等比数列\begin{align*}
\cos x&>1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}=g(x)\\[1ex]
h(x)&=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{2\cdot12}-\frac{x^6}{2\cdot12^2}+\cdots\\[1ex]
&=1-\frac{x^2/2}{1-\big(-\frac{x^2}{12}\big)}\\[1ex]
&=\frac{12-5x^2}{12+x^2},
\end{align*} 作差 \begin{align*}
g(x)-h(x)&=\left(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\right)-\frac{12-5x^2}{12+x^2}\\[1ex]
&=\frac{(12+x^2)\big(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\big)-12+5x^2}{12+x^2}\\[1ex]
&=\frac{\frac{1}{720}x^6 \big(18-x^2\big)}{12+x^2},\,x\in(0,\pi/2)\\[1ex]
&>0,\\[1ex]
\therefore \ {\color{blue}{\cos x}}>g(x)&>h(x)={\color{blue}{\frac{12-5x^2}{12+x^2}}},\,x\in(0,\pi/2)
\end{align*} 猜想归纳证实的蓝色不等式 ${\color{blue}{\cos x>\dfrac{12-5x^2}{12+x^2}}},\,x\in(0,\pi/2)$ 就是函数 $y=\cos x$ 在 $x=0$ 处的 (2,2) 阶帕德（$\rm Pad \acute e$）逼近. 此处取 $x=\frac23$ 便知 \begin{equation*}
4\cos\frac23>4\cdot\frac{12-\frac{20}{9}}{12+\frac49}=\frac{22}7>\pi,
\end{equation*} 得证，并成功大副改进计算量，手算即可. |
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