与方程有解相关的最值问题

力工

已知$a,b,c>0$且关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有解，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$的最小值。

kuing

题目最好说明是实数解，毕竟虚数解也是解。

将 `a/b+b/c+c/a` 看成 `b` 的函数 `f(b)`，显然 `f(b)` 在 `[\sqrt{ac},+\infty)` 递增，而由条件有 `b\geqslant2\sqrt{ac}`，所以
\[f(b)\geqslant f(2\sqrt{ac})=\frac a{2\sqrt{ac}}+\frac{2\sqrt{ac}}c+\frac ca
=\frac54\sqrt{\frac ac}+\frac54\sqrt{\frac ac}+\frac ca\geqslant3\sqrt[3]{\frac{25}{16}}.\]

敬畏数学

不难！很简单。
还得是k神出手，我一直只想一个个消，想不到整体消。是这样啊