二次根式下的三角函数最大值问题

敬畏数学

$ f(x)=\sqrt{5\cos ^2x-4\sin x+5} -|3\cos x|$的最大值为______。

kuing

配方为
\[f(x)=\sqrt {(3\cos x)^2+(2\sin x-1)^2}-|3\cos x|,\]
等价于：椭圆 `x^2/9+y^2/4=1` 上的动点 `P`，点 `A(0,1)`，作 `PB\perp y` 轴于 `B`，求 `PA-PB` 的最大值。

记椭圆下顶点为 `D(-2,0)`，则 `PA-PB\leqslant AB\leqslant AD=3`，当 `P` 为 `D` 处时取等。

kuing

如果懒得码那么多字，那就用不等式来表达：

由 `\sqrt{a^2+b^2}\leqslant\abs a+\abs b` 得
\[f(x)=\sqrt{(3\cos x)^2+(2\sin x-1)^2}-\abs{3\cos x}\leqslant\abs{2\sin x-1}\leqslant3,\]
当 `x=-90\du` 取等。

敬畏数学

kuing 发表于 2023-12-15 18:51
配方为
\[f(x)=\sqrt {(3\cos x)^2+(2\sin x-1)^2}-|3\cos x|,\]
等价于：椭圆 `x^2/9+y^2/4=1` 上的动点 ` ...

好