这个函数的最小值应该如何求?

snowblink

如题

力工

直接变形为$f(x)=2[\sqrt{\frac{5}{4}+cosx}+\sqrt{5+4sinx}]$
再配方$f(x)=2[\sqrt{(cosx+\frac{1}{2})^2+sin^2x}+\sqrt{cos^2x+(sinx+2)^2}$
最后用两边之和不小于第三边，
$\geqslant 2\sqrt{(\frac{1}{2})^2+2^2}=\sqrt{17}$.
不知道怎么分行，索锐。
加几个汉字进去试试。

hbghlyj

(以下不是解题方法,只是一种视角...)
点$(5+4\cos x,5+4\sin x)$是Circle((5, 5), 4)上的动点.
$$\sqrt x+2\sqrt y=a$$
有理化,
$$x^2 - 8x y + 16y^2 - 2a^2 x - 8a^2 y + a^4 = 0$$
这是一条抛物线. 它的二次部分 $x^2 - 8x y + 16y^2$ 是固定的, 所以对称轴的方向是固定的.
令$x=0$得到$a^4-8a^2y+16y^2$,可以配方$(a^2 - 4 y)^2$.
令$y=0$得到$a^4 - 2 a^2 x + x^2$,可以配方$(a^2 - x)^2$.
所以这条抛物线与$x$轴,$y$轴相切(又见这帖),切点分别是$(0,\frac{a^2}4)$和$(a^2,0)$.
转化一个这样的问题:
一个对称轴的方向给定、与$x$轴,$y$轴相切的抛物线, 何时与Circle((5, 5), 4)相切
($a^2$是关于原点的缩放因子)

最小值 $\sqrt{17}$ ≈4.12311
最大值 Root[4418 - 41142 #^2 + 3751 #^4 - 116 #^6 + #^8& , 4, 0] ≈8.46467

最大值8.46467也可以写成根式\[\sqrt{\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} \sqrt[3]{17496720 \sqrt{72903}-4723433999}+37392 \sqrt{\frac{3}{\sqrt[3]{17496720 \sqrt{72903}-4723433999}-\frac{194399}{\sqrt[3]{17496720 \sqrt{72903}-4723433999}}+2590}}+\frac{5180}{3}+\frac{194399}{3 \sqrt[3]{17496720 \sqrt{72903}-4723433999}}}+\frac{1}{2 \sqrt{\frac{3}{\sqrt[3]{17496720 \sqrt{72903}-4723433999}-\frac{194399}{\sqrt[3]{17496720 \sqrt{72903}-4723433999}}+2590}}}+29}\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-10-6 14:52
最小值
$\sqrt{17}$
≈4.12311

注意“有理化”那步可能出现增根:这个抛物线可以分解成四个$\frac12$次因式$$\sqrt{x}\pm 2 \sqrt{y}\pm\sqrt{17}$$但其中的$\sqrt x+2\sqrt y+\sqrt{17}$的图象是空集.
我们需要的因式$\sqrt x+2\sqrt y-\sqrt{17}$是介于$y$轴上的切点和$x$轴上的切点之间的一段抛物线.
因式$\sqrt x-2\sqrt y-\sqrt{17}$是抛物线在$x$轴上的切点之右的部分(因为$x$至少是$17$).
因式$\sqrt x-2\sqrt y+\sqrt{17}$是抛物线在$y$轴上的切点之上的部分(因为$y$至少是$17/4$).

---

最小值的图中可以看到有两个切点

1. Solve[{x^2-8x y+16y^2-2a^2x-8a^2y+a^4==0/.{x->5+4c,y->5+4s,a->Sqrt[17]},c^2+s^2==1},{c,s}]

复制代码

两组解分别属于两个因式:

$$\cases{c=\frac{-\sqrt{13}-8}{17}\\s=\frac{2\left(2 \sqrt{13}-1\right)}{17}}$$	$$\cases{c=\frac{\sqrt{13}-8}{17}\\s=\frac{2\left(-2 \sqrt{13}-1\right)}{17}}$$
$$\sqrt{4 c+5}-2 \sqrt{4 s+5}+\sqrt{17}=0$$	$$\sqrt{4 c+5}+2 \sqrt{4 s+5}-\sqrt{17}=0$$

第一组解满足的因式不是我们需要的因式.第二组才是取等条件.

hbghlyj

$\sqrt x+2\sqrt y=\sqrt{17}$是一段抛物线,在GeoGebra中可以用Curve(((a - 2sqrt(t))², t), t, 0, a² / 4)输入.

力工

力工 发表于 2022-10-6 20:59
直接变形为$f(x)=2[\sqrt{\frac{5}{4}+cosx}+\sqrt{5+4sinx}]$
再配方$f(x)=2[\sqrt{(cosx+\frac{1}{2})^2+ ...

还可求最大值。将$(-0.5,0)$关于圆上的点对称，轨迹仍为圆。有直接算法吗？

isee

在知乎提问碰到一个类似的





题：$f(x)=\sqrt {5 - 4\cos x } + 2\sqrt {5 - 4\sin x } , {~}x \in \mathbb R$ 的最小值为_____.

这里只处理最小值，配方

\begin{align*}
f(x)&=\sqrt {5 - 4\cos x } + \sqrt {20 - 16\sin x }\\[1em]
&=\sqrt {(2\sin x)^2 + (2\cos x-1)^2 } + \sqrt {(2\sin x -4)^2+(2\cos x)^2 }\\[1ex]
& \geqslant \sqrt{(2\sin x-2\sin x+4)^2+(2\cos x-1-2\cos x)^2}\\[1ex]
&=\sqrt {17}.
\end{align*}

取等号时 $\frac {2\sin x}{2 \sin x-4}=\frac {2\cos x-1}{2\cos x}<0,$ 即$\frac {\sin x}{-2}=\frac {2\cos x-1}1<0,$ 则$\cos x=\frac{8-\sqrt{13}}{17},\sin x=\frac{2+4\sqrt{13}}{17}.$

力工

求$5-3cosx+\sqrt{9cos^2x-10cosx-8sinx+18}$的最小值？能直接求吗？