最值问题，系数怎么用待定系数解

极光永明

函数$f\left(x\right)=\sqrt{2x-7}+\sqrt{12-x}+\sqrt{44-x}$的最大值为$\_\_\_\_\_$.

$$\begin{aligned}\left(\sqrt{2x-7}+\sqrt{12-x}+\sqrt{44-x}\right)^2&=\left(\sqrt a\cdot\sqrt{\dfrac{2x-7}{a}}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{\dfrac{12-x}{b}}+\sqrt c\cdot\sqrt{\dfrac{44-x}{c}}\right)^2\\&\leqslant\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{2x-7}{a}+\dfrac{12-x}{b}+\dfrac{44-x}{c}\right)\end{aligned}$$
只能看出$\dfrac{2}a-\dfrac1b-\dfrac1c=0$，虽然$\left(3,2,6\right)$还是比较好瞪眼的，但是怎么用待定系数解呢，用Cauchy取等条件似乎搞不出来什么。

kuing

补上柯西取等条件就是
\[\frac{2x-7}{a^2}=\frac{12-x}{b^2}=\frac{44-x}{c^2},\]
上式消去 `x` 变成
\[32a^2+81b^2-17c^2=0,\]
结合 `2/a-1/b-1/c=0`，令 `b=ka`, `c=pa`，那就是
\[\led
\frac1k+\frac1p&=2,\\
32+81k^2-17p^2&=0,
\endled\]
消 `k` 后变成四次方程 `17 p^4-17 p^3-48 p^2+32 p-8=0`，要解还是得猜根，所以无论如何，总得瞪眼。

kuing

所以这种题属于典型的“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型，数据必定是设计好的。

让我来的话，我会一开始就直接瞪眼——能解的话答案不会难看，不妨直接瞪一个能让三个根号 `\sqrt{2x-7}`, `\sqrt{12-x}`, `\sqrt{44-x}` 同时开出来的 `x`，一下就能瞪出是 `x=8`，填空题的话根本不用再想了，直接算 `f(8)` 填上即可。要写过程也可以凑均值
\begin{align*}
f(x)&=\frac13\sqrt{9\cdot(2x-7)}+\frac12\sqrt{4\cdot(12-x)}+\frac16\sqrt{36\cdot(44-x)}\\
&\leqslant\frac{9+2x-7}6+\frac{4+12-x}4+\frac{36+44-x}{12}\\
&=11.
\end{align*}

isee

kuing 发表于 2023-6-10 17:18
补上柯西取等条件就是
\[\frac{2x-7}{a^2}=\frac{12-x}{b^2}=\frac{44-x}{c^2},\]
上式消去 `x` 变成

用柯西怎么凑系数？
forum.php?mod=viewthread&tid=9616
(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))

几乎一样

极光永明

kuing 发表于 2023-6-10 17:30
所以这种题属于典型的“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型，数据必定是设计好的。

让我来的话，我会 ...

但是楼下@isee 发的那道类似题就不能直接瞪出来了。
不过那道题的系数要比这题好瞪，原因是那题可以凑$1+1-2=0$；而这题有一次项系数相等的两个根式，所以直接凑$\left(1,1,1\right)$是取不到等的，只能待定完系数再瞪。
最害怕的是题干也观察不出来，做完待定系数也看不出来的题😰

kuing

极光永明 发表于 2023-6-10 21:10
但是楼下@isee 发的那道类似题就不能直接瞪出来了。
不过那道题的系数要比这题好瞪，原因是那题可以凑$1+ ...

那就看命题者想弄到啥难度了，要想让你瞪不出来又确实可以解的话，可以设计到那四次方程有重根式解😁
无论如何，对这种题的策略就是那样，首先像 3# 那样直接瞪，瞪不了待定系数再瞪，还不行就干脆求导解方程。