三角求值

lemondian

三角求值：
$\cos^3\frac{\pi}{7}+\cos^3\frac{3\pi}{7}+\cos^3\frac{5\pi}{7}$
另外这个式子能不能推广？

战巡

回复 1# lemondian


$\cos(\frac{\pi}{7}),\cos(\frac{3\pi}{7}),\cos(\frac{5\pi}{7})$，这三个东西其实是方程
\[x^3-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}=0\]
的三个解，省事起见直接用$x_1,x_2,x_3$表示

然后
\[x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)[x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)]+3x_1x_2x_3\]
\[=(x_1+x_2+x_3)[(x_1+x_2+x_3)^2-3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)]+3x_1x_2x_3\]
\[=\frac{1}{2}\cdot[(\frac{1}{2})^2-3(-\frac{1}{2})]+3\cdot(-\frac{1}{8})=\frac{1}{2}\]

至于推广，反正你就按那个三次方程，然后韦达定理慢慢推其他的吧

hbghlyj

回复 1# lemondian


$\cos^3(\frac{\pi}{7}),\cos^3(\frac{3\pi}{7}),\cos^3(\frac{5\pi}{7})$，这三个东西其实是方程$$\frac{1}{8}-\frac{ x^{1/3}}{2}-\frac{x^{2/3}}{2}+x=0$$的三个解，省事起见直接用$x_1,x_2,x_3$表示
_________________
乘以三次单位根,得到两个“共轭”的表达式,展开就可以有理化了:
$$\small\left(\frac{1}{8}-\frac{ x^{1/3}}{2}-\frac{x^{2/3}}{2}+x\right) \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2} (-1)^{1/3}
    x^{1/3}-\frac{1}{2} (-1)^{2/3} x^{2/3}+x\right) \left(\frac{1}{8}-\frac{1}{2} (-1)^{2/3}
    x^{1/3}+\frac{1}{2} (-1)^{1/3} x^{2/3}+x\right)=\frac{1}{512}-\frac{11 x}{64}-\frac{x^2}{2}+x^3$$
$x_1+x_2+x_3=\frac12$
_________________
以上“根式有理化”的方法,是因为
$$(a+b+c) \left(a-(-1)^{1/3} b+(-1)^{2/3} c\right) \left(a+(-1)^{2/3} b-(-1)^{1/3} c\right)=a^3+b^3+c^3-3 a b c$$
_________________
注:把三次单位根写成$-(-1)^{1/3}$和$(-1)^{2/3}$是为了输入Mathematica方便
$$-(-1)^{1/3}=e^{iπ}(e^{iπ})^{1/3}=e^{i\frac{4π}3}$$
$$(-1)^{2/3}=(e^{iπ})^{2/3}=e^{i\frac{2π}3}$$

lemondian

回复 2# 战巡
如何看出就是方程的三个根呢？

战巡

回复 4# lemondian


老结论了，直接用了...

反正你一个一个套入那个三次方程去验证，都是成立的

hbghlyj

回复 4# lemondian
$x=\cos\fracπ7,\cos\frac{3π}7,\cos\frac{5π}7$都满足
$$\cos(3\arccos x)-\cos(2\arccos x)+x=\cos\fracπ7+\cos\frac{3π}7+\cos\frac{5π}7=\frac12$$ 模7的缩系乘以它的任何元素都得到它的一个排列.

Z*7		*	1	2	3	4	5	6
1		1	1	2	3	4	5	6
2		2	2	4	6	1	3	5
3		3	3	6	2	5	1	4
4		4	4	1	5	2	6	3
5		5	5	3	1	6	4	2
6		6	6	5	4	3	2	1

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缩系 – 百度百科

一般地,$n$次多项式
$$\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\cos(k\arccos x)-\frac12$$ 的根为$x=\cos\frac{(2i+1)π}{2n+1}\quad i=0,1,⋯,n-1$.

kuing

回复 4# lemondian

设
\[x_k=\cos\frac{2k\pi}7+i\sin\frac{2k\pi}7,\]
则 `x^7=1` 的七根为 `x_0` 至 `x_6`，而 `x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+\cdots+1)`，所以 `x^6+x^5+\cdots+1=0` 的六根为 `x_1` 至 `x_6`，将此方程配方为
\[\left( x+\frac1x \right)^3+\left( x+\frac1x \right)^2-2\left( x+\frac1x \right)-1=0,\]
由于
\[x_k+\frac1{x_k}=2\cos\frac{2k\pi}7,\]
所以方程 `t^3+t^2-2t-1=0` 的三根为 `2\cos(2\pi/7)`, `2\cos(4\pi/7)`, `2\cos(6\pi/7)`。

再作变换 `t\to-2t` 即得 `-8t^3+4t^2+4t-1=0` 的三根为 `\cos(5\pi/7)`, `\cos(3\pi/7)`, `\cos(\pi/7)`。

lemondian

回复 7# kuing
嗯，这个配方真N。
不知这东东能不能推广一下？
跟这个有没有关系？kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5332

或者象这种？kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4148&highli ... 92%E7%AD%89%E5%BC%8F

hbghlyj

1. f[n_]:=CoefficientList[(-1)^n (1-2 Sum[(-1)^(k+1) ChebyshevT[k,x],{k,1,n}])/2^n,x];
2. g[n_]:=RootReduce/@CoefficientList[Product[x-Cos[(2 i+1) Pi/(2 n+1)],{i,0,n-1}],x];

复制代码

可以验证f[1]==g[1],f[2]==g[2],f[3]==g[3],⋯⋯

lemondian

回复 6# hbghlyj
能详细说说你这个$n$次多项式的根是如何来的吗？

hbghlyj

lemondian 发表于 2022-4-28 09:22
回复 6# hbghlyj
能详细说说你这个$n$次多项式的根是如何来的吗？

可以代入验证$\cos \left(\frac{\pi  (2 i+1)}{2 n+1}\right)$是这个$n$次多项式的根
math.stackexchange.com/questions/4904933/alternate-sum-of-chebyshev-polynomials/4904944#4904944