经过曲綫上一点 最短路程

hbghlyj

折綫 $F_1G F_2$ 是从 $F_1$ 经过曲綫上一点 $G \in c$ 到 $F_2$ 的最短路程。
则曲线 $c$ 在 $G$ 处的切线 $t_G$ 与直线 $F_1 G$ 和 $F_2 G$ 的夹角相等

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-9-20 21:45
$F_1 G F_2$ 是从 $F_1$ 经过曲綫上一点 $G \in c$ 到 $F_2$ 的最短路程。

也可以这样想，一个端点为 $F_1$ 和 $F_2$ 的绳子在曲线 $c$ 上伸直。绳子的拐角点为 $G \in c$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-9-20 21:45
则曲线 $c$ 在 $G$ 处的切线 $t_G$ 与直线 $F_1 G$ 和 $F_2 G$ 的夹角相等

直线 $F_1G$ 和 $F_2G$ 是以 $G$ 为顶点、以 $t_G$ 为轴的圆锥的母线。

kuing

不太严格的说明：
设 `G` 的速度为 `\bm v`，则 `F_1G` 的增量（用词或许不对）为 `v\cos\langle\bm v,\vv{F_1G}\rangle`，同理 `F_2G` 的为 `v\cos\langle\bm v,\vv{F_2G}\rangle`，`F_1G+F_2G` 最短时增量为零，因此 `\cos\langle\bm v,\vv{F_1G}\rangle+\cos\langle\bm v,\vv{F_2G}\rangle=0`，即 `\langle\bm v,\vv{F_1G}\rangle+\langle\bm v,\vv{F_2G}\rangle=180\du`，所以夹角相等。