数列最值一例

APPSYZY

求证：数列 $\{\sin n\}$ 不存在最值。

zhcosin

猜想有下面这个结论：
命题 设$r$是一个无理数，则数集$\{|n-mr| \big| n,m \in \mathbb{Z}\}$的下确界是零(但取不到).
不过还没想出来怎么证明，貌似比想象中困难。

kuing

猜想有下面这个结论：
命题 设$r$是一个无理数，则数集$\{|n-mr| \big| n,m \in \mathbb{Z}\}$的下确界是零 ...
zhcosin 发表于 2017-11-27 11:23

是成立的，利用 Farey 数列可以证明。
Farey 数列是指：将 $[0,1]$ 内的分母不超过 $n$ 的最简分数由小于大排列成的数列，记为 $\mathfrak F_n$。
有如下结论：

（这个 $\xi$ 应该也要 $(0,1)$ 内，图片截自《数论导引》P143）
于是把 $b$ 乘过去再令 $n$ 无穷大即得结论。

zhcosin

回复 3# kuing
强大，强大，这书一直躺着我的电脑里，却没去看。。。。。

kuing

回复 4# zhcosin

其实俺也没怎么看过，只是估计这个问题应该是涉及数论，就翻查了下数论的书，就在这里找到了。
数论太难鸟，俺也玩不起……

zhcosin

回复  zhcosin

其实俺也没怎么看过，只是估计这个问题应该是涉及数论，就翻查了下数论的书，就在这里找到 ...
kuing 发表于 2017-11-27 17:28

我也一样，还没精力研究数论。
一入数学深似海，从此娱乐成笑谈。。。。我还在为啥时候能玩一下魔兽争霸验证一下我的战术发愁呢。

APPSYZY

不知该如何写出这个证明过程

zhcosin

回复 7# APPSYZY
你是问它前面的定理的证明还是问怎么用那个定理来证明后面提到的结论？如果是后者的话，后面那个“实际上”，不是已经提示了么。

APPSYZY

回复 8# zhcosin
我是说我前者的，不知该怎么描述证明过程（这道题本身就是我自己瞎编的哈哈）

hbghlyj

Krantz, Real Analysis and Foundations

hbghlyj

APPSYZY 发表于 2017-11-28 15:39
$(p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N})$.
注 3 (Kronecker-Чебышёв 定理) 对任意的无理数 $\alpha$ 以及数 $\beta$, 存在无限个整数 $p, q(p>$ $0)$, 使得 $|p a-q+\beta|<3 / p$. 由此结果可以证明: 对任意实数 $\beta$, 均存在整数列 $\left\{n_k\right\}$, 使得 $\sin n_k \rightarrow$ $\sin \beta(k \rightarrow \infty)$. 实际上, 取 $\alpha=2 \pi$, 以及 $p_k, q_k\left(p_k \rightarrow+\infty\right)$, 使得 $2 p_k \pi-q_k+\beta=o(1)(k \rightarrow \infty), q_k=2 p_k \pi+\beta+o(1)(k \rightarrow \infty)$.

mathoverflow.net/questions/94436/
Chebyshev´s theorem: The inequality $|x(k)-y|<3/k$ has infinitely many solutions, where $x(k)=x_0+k\alpha \pmod 1$, $\alpha$ is an irrational number, and $x_0,y\in S^1$.