2018年全国卷I理科第16题 三角函数

isee

文字版：

题：已知函数$f(x)=2\sin x+\sin 2x$，则$f(x)$的最小值是_____

kuing

与《撸题集》P559 题目 4.8.8 神似，估计用同样方法可秒，甚至更简单。

kuing

回复 2# kuing

果然更简单，连待定系数都不用了\[y^2=4\sin ^2x(1+\cos x)^2=\frac 43(3-3\cos x)(1+\cos x)^3\leqslant \cdots \]如此一来，证实与否就无关重要了。

isee

第一直觉是平方，但个人不等式并不熟。
于是，马上考虑函数性质，奇函数，且$2\pi$是其一个周期。
直接考虑$(0,2\pi)$求导，算得$$-\frac{3\sqrt 3}2.$$

isee

回复 2# kuing

真是你自己写的这都记得，倍数一进一出，哈哈。

乌贼

回复 4# isee
如果熟知园$ (y-1)^2+x^2=1 $与双曲线$ xy=k $相切时$ k=\pm\dfrac{3\sqrt{3}}{4} $且切点坐标为$ (\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2}) $，则为送分题，否则……
\[ x^2+y^2=1\\x(y+1)=\dfrac{k}{2} \]

代入得\[ k\leqslant 2\times (-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\times \dfrac{3}{2}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \]

kuing

回复 6# 乌贼

其实下面这样玩更快，而且不需要熟知什么结论。

由奇函数，求最大值即可，而它不会在钝角时取得（若 `x` 为钝角则将 `f(\pi-x)` 更大），只需考虑 `x` 为锐角，由琴生不等式得
\[f(x)=\sin x+\sin x+\sin(\pi-2x)\leqslant3\sin\frac{x+x+\pi-2x}3=\frac{3\sqrt3}2,\]
最小值就是其相反数。

又或者说，这题的背景其实就是三角形中的 `\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt3}2`。

乌贼

令$ sinx=b,cosx=a $有\[ a^2+b^2=1\\M=2b+2ab \]联立得\[ M^2=4(1-a^2)(1+a)^2=4(1-a)(1+a)^3=\dfrac{4}{3}(3-3a)(1+a)^3\leqslant \dfrac{27}{4} \]

kuing

回复 8# 乌贼

这不就是三楼的东西么，换元是多余的。

乌贼

回复 9# kuing
对三角函数不熟

kuing

你怎么还不睡觉

zhcosin

回复 7# kuing
这个牛逼。。。

kuing

一般地，给定实数 `a`，则 `2a\sin x+\sin2x` 的最大值为
\[\frac{\left(\sqrt{2\abs a\sqrt{a^2+8}+2a^2+8}+2\abs a\right)^2}
{4\sqrt{2\abs a\sqrt{a^2+8}+2a^2+4}},\]
最小值为其相反数。

lemondian

回复 13# kuing
NB!
如何推出这个东东的？

kuing

回复 14# lemondian

这个是装B用的，过程就不写了

lemondian

回复 15# kuing
写一个嘛，一来是学习，二来可让我们也装一下B哩

敬畏数学

回复 6# 乌贼
好像很厉害，但此图估计有点。。。。。此题解法据说极其多。OPEN

lemondian

回复 17# 敬畏数学


    极多？还有什么方法呢？
听说万能公式也可以

lemondian

这个是否更有一般性？
求y=asinx+sinax的最值。

色k

回复 19# lemondian

不觉得。