三角形三内角正弦倒数和

guanmo1

三角形ABC中，sinA+2sinB＝2sinC，求1/sinA+1/sinB+1/sinC的最小值。

kuing

遇三次方程，无简单解，题目需要改系数。

kuing

今晚在群里又出现此题，一模一样……
后来才有人说，其实 1/sinC 前面是减号……
看来这错误的版本流传挺广……

令 `a=y+z`, `b=z+x`, `c=x+y`, `x`, `y`, `z>0`，则
\[\sin A+2\sin B=2\sin C\iff y+z+2(z+x)=2(x+y)\iff y=3z,\]于是由面积公式及均值，得
\begin{align*}
\frac1{\sin A}+\frac1{\sin B}-\frac1{\sin C}&=\frac{bc+ca-ab}{2S}\\
&=\frac{x^2+xy+y^2+xz+yz-z^2}{2\sqrt{xyz(x+y+z)}}\\
&=\frac{x(x+4z)+11z^2}{2\sqrt{3xz^2(x+4z)}}\\
&\geqslant\frac{2\sqrt{x(x+4z)\cdot11z^2}}{2\sqrt{3xz^2(x+4z)}}\\
&=\sqrt{\frac{11}3},
\end{align*}显然能取等。

这样这题就是简单题