据说是学生自编的一个问题-三角函数

realnumber

我也搞不清楚有没解，能不能解
问题如下：$y=2\sin{x}\sin{(x+ax)}+a=\cos{(ax)}-\cos{((2+a)x)}+a$ 有最大值$\sqrt{2}$,求此时的实数a值以及函数的周期.



又这个猜测对吗？有周期说明此时a:(2+a)为有理数


en,2楼说得对，修改好了

猜测是个错题,问题修改为怎么说明是个错题.

kuing

是不是打错了，按照后面 = cos 的那块，前面第二个 sin 应该 sin(x+ax) ？

kuing

要证系数比为有理数需要了解“稠密性”，我之前临时学了点，记录在：
forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=7596&pid=38761（7#）

`\cos(ax)-\cos\bigl((2+a)x\bigr)` 有最大值等价于 `\cos x-\cos\bigl(\frac{2+a}ax\bigr)` 有最大值。

记 `\frac{2+a}a=c` 以及 `g(x)=\cos x-\cos(cx)`，假设 `c` 为无理数，则：

（1）先证明 `g(x)<2`。
只需证明 `g(x)\ne2`，假设 `g(x)=2`，则必然 `\cos x=1` 且 `\cos(cx)=-1`，则 `x=2k_1\pi` 且 `cx=(2k_2+1)\pi`（`k_1`, `k_2\inZ`），相除得 `c=(2k_2+1)/(2k_1)`，与 `c` 为无理数矛盾，所以 `g(x)<2`。

（2）再证明 `g(x)` 能无限接近 `2`。
设 `k\inZ`，令 `h(k)=g(2k\pi)=1-\cos(2kc\pi)`，根据链接中的命题，数集 `\{kc+m\mid k,m\inZ\}` 在 `\Bbb R` 上稠密，那么对于任意小的正数 `\veps`，都存在 `k`, `m\inZ` 使 `2kc+2m\in(1,1+\veps)`，于是 `\cos(2kc\pi)=\cos\bigl((2kc+2m)\pi\bigr)\in\bigl(-1,-\cos(\veps\pi)\bigr)`，所以 `h(k)\in\bigl(1+\cos(\veps\pi),2\bigr)`，当 `\veps\to0 ` 时 `h(k)\to2`，所以 `g(x)` 能无限接近 `2`。

综合（1）（2），当 `c` 为无理数时 `g(x)` 不存在最大值。