Pascal 定理

hbghlyj

香蕉空间

圆锥曲线 $\Gamma$ 上有六个点 $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$. 分别以 $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ 记直线 $A_2B_3,A_3B_1,A_1B_2$, 以 $m_1,m_2,m_3$ 记直线 $A_3B_2,A_1B_3,A_2B_1$, 再以 $X_1,X_2,X_3$ 记交点 $\ell_1m_1,\ell_2m_2,\ell_3m_3$. 则 $X_1,X_2,X_3$ 共线.

证明(用坐标几何)

在坐标平面考虑问题, 并以曲线的字母表示定义它的多项式. 具体地说, 以 $\Gamma$ 表示二次多项式, 使得方程 $\Gamma=0$ 定义圆锥曲线 $\Gamma$, 六条直线类同. 把两组三条直线的定义多项式乘起来, 得到两个三次多项式 $\ell_1\ell_2\ell_3$ 与 $m_1m_2m_3$.
由于这两组三条直线不同, 这两个三次多项式线性无关. 由条件, 它们都在 $A_1,A_2,A_3$, $B_1,B_2,B_3$, $X_1,X_2,X_3$ 为零.
任取点 $C\in\Gamma$ 异于 $A_1,A_2,A_3$, $B_1,B_2,B_3$, 然后适当取不全为零的系数 $\lambda,\mu$ 使得 $\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3$ 在 $C$ 处为零.
现在3次多项式 $\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3$ 与2次多项式 $\Gamma$ 有至少7个公共零点: $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3,C$. 由于 $7>3\times2$, 这说明它们有公因子.
由于 $\Gamma$ 是圆锥曲线, 并非两条直线, 为不可约, 所以只可能是它整除 $\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3$.
于是设$$\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3=f\Gamma,$$则 $f$ 为一次多项式, 零点集为直线. 上式左边在 $X_1,X_2,X_3$ 为零, 而由于圆锥曲线和直线只能交两个点, $\Gamma$ 在这三点不为零, 所以只有 $f$ 在这三个点为零, 即 $X_1,X_2,X_3$ 共线.

Remark.
    这里用到 $\Gamma$ 不可约. 当 $\Gamma$ 是两条相异直线相乘时, 在上述证明中取 $C$ 为两线交点, 不难得到同样的结论. 这就是 Pappus 定理.

Remark.
    由此可见 Pascal 定理在任何域的射影平面上都成立.