一道三棱锥的体积的最大值（乌鲁木齐模拟题）

郝酒

三棱锥$A-BCD$中，点$A$在平面$BCD$的射影$H$是$\Delta BCD$的垂心，点$D$在平面$ABC$的射影$G$是$\Delta ABC$的重心，$AD=1$，则此三棱锥体积的最大值为？

kuing

由 `H` 是 `A` 的射影且为垂心，有
\[\led
&AH\perp BC,\\
&DH\perp BC
\endled
\riff BC\perp\text{面}~AHD\riff BC\perp AD,\]
同理可得 `BD\perp AC` 和 `CD\perp AB`，即该四面体的三对棱均互相垂直。

由 `G` 是 `D` 的射影得 `DG\perp AC`，于是
\[\led
&DG\perp AC,\\
&BD\perp AC
\endled
\riff AC\perp\text{面}~BDG\riff AC\perp BG,\]
同理可得 `AB\perp CG`，所以 `G` 同样也是 `\triangle ABC` 的垂心。

也就是说，其实由一个顶点的射影为垂心就可以推出另外三顶点的射影都为垂心。

而现在条件说 `G` 是重心，即垂心与重心重合，因此 `\triangle ABC` 为等边三角形，于是 `DA=DB=DC=1`，所以当且仅当这三棱相互垂直时体积最大，为 `1/6`。