如何证明这个三角函数恒等式？

TSC999

如何证明 a = b，用 mathematica 软件证明也行，但是最好不要把 a 和 b 算成数字再比较。

1. \[Theta]1 = \[Pi]/3 + 2/3 ArcCos[17/(7 Sqrt[7])];  \[Theta]2 = \[Pi]/6 + 1/3 ArcCos[17/(7 Sqrt[7])]; \[Theta]3 = \[Pi]/3 +
2.   I/3 ArcCosh[17/(7 Sqrt[7])];
3. a = 1/9 (3 + 7 Cos[ \[Theta]1] + Sqrt[7] Sin[\[Theta]2] +  I (-1 + Sqrt[7] Cos[\[Theta]3]) Sqrt[21 + 14 Cos[\[Theta]1] - 4 Sqrt[7] Sin[\[Theta]2]]);
4. b = Sqrt[2]/2 + I (1 - Sqrt[2]/2);

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kuing

该等式是不是有啥几何背景？

hbghlyj

kuing

由
\[3\theta_2=\frac\pi2+\arccos\frac{17}{7\sqrt7},\]
得
\[\frac{17}{7\sqrt7}=\sin(3\theta_2)=3\sin\theta_2-4\sin^3\theta_2,\]
记 `\sin\theta_2=t`，上式化为
\[\frac{17}{7\sqrt7}=3t-4t^3\iff\left(t-\frac1{\sqrt7}\right)\left(4t^2+\frac4{\sqrt7}t-\frac{17}7\right)=0,\]
解得
\[t=\frac1{\sqrt7}~\text{或}~t=\frac{-\sqrt7\pm3\sqrt{14}}{14},\]
显然 `\pi/6<\theta_2<\pi/3`，故舍去第一个根及负根，只剩
\[\sin\theta_2=t=\frac{-\sqrt7+3\sqrt{14}}{14},\]
对于另外两个，显然 `\theta_1=2\theta_2` 及易证 `\theta_3=\pi/2-\theta_2`，于是
\begin{align*}
\cos\theta_1&=1-2\sin^2\theta_2=\frac{-5+6\sqrt2}{14},\\
\cos\theta_3&=\sin\theta_2,
\end{align*}
代回去算就行了。

TSC999

用  N[a]==N[b] 可以，结果给出 True。
  

kuing

关于 4# 结论 `\sin\theta_2=\frac{-\sqrt7+3\sqrt{14}}{14}` 的 mma 软件验证：
如果直接对 Sin[θ2] 作 FullSimplify，它原样输出😶
但如果先作 TrigToExp 再作 FullSimplify，就会化出根式来，不过还是重根式😕
如下图所示：

注：我这里是 mma 7.0 版本，不知更高级版本会不会有不同。

TSC999

先按 4# 楼的方法求出三个角之间的关系，然后按下面可以成功：

hbghlyj

TSC999 发表于 2023-3-17 04:20
有程序代码没有？我的 MMA 是 7.0 版的，运行结果出不来零。

在13.2版 可以RootReduce[a-b]到0