$π/19$ 三角函数 3次代数数

hbghlyj

证明$\alpha=\cos \frac{2 \pi}{19}-\cos \frac{3 \pi}{19}-\cos \frac{5 \pi}{19}$是一个整系数3次多项式的根

kuing

想起了这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=8007 不知有否关联🤔

kuing

模仿上述链接中的分组，靠运气撞出以下证法：

记 `t=\pi/19`，以及
\begin{align*}
a&=\cos2t-\cos3t-\cos5t,\\
b&=-\cos t-\cos7t+\cos8t,\\
c&=\cos4t+\cos6t-\cos9t,
\end{align*}
则有
\begin{align*}
a+b+c&=-\frac12,\\
ab+bc+ca&=-\frac32,\\
abc&=\frac78,
\end{align*}
即得证。