到定点和定直线的距离之比为定值

hbghlyj

点$(x,y,z)$到点$P(1,0,0)$的距离为$\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}$
点$(x,y,z)$到通过$(0, 0, 0),(0, 1, 0)$的直线$L$的距离为$\sqrt{x^2+z^2}$.
到点$P$和直线$L$的距离之比为定值$\sqrt k\;(k>0)$的轨迹?
\[f(x,y)=(x-1)^2+y^2+z^2-k \left(x^2+z^2\right)=0\]
$f(x,y)$可以关于$x$配方\[(1-k) \left(x+\frac{1}{k-1}\right)^2+y^2+(1-k) z^2+\frac{k}{k-1}\]当$k<1$时$f(x,y)$有最小值$\frac{k}{k-1}$
这说明,当$k<0$时$\frac{k}{k-1}>0$,所以$f(x,y)=0$在实数上无解.
所以轨迹不为空集需要$k\ge0$.[当$k=0$时轨迹是单点集$P$]
当$0<k<1$时轨迹是椭球;
当$k=1$时轨迹是抛物线柱面$-2 x+y^2+1=0$;
当$k>1$时轨迹是单叶双曲面.

hbghlyj

轨迹与xy平面的交集是准线为L,焦点为P的二次曲线.
轨迹与yz平面的交集是到两点$(0,0,0),(1,0,0)$的距离之比为$\sqrt k$的轨迹,当$k=1$时是直线,当$k≠1$时是圆(下图是$k=2$可以看到这个圆,是单叶双曲面的截面).

Region@ImplicitRegion[(x-1)^2+y^2+z^2-2(x^2+z^2)==0,{x,y,z}] Copy the Code
ContourPlot3D[(x-1)^2+y^2+z^2-2(x^2+z^2)==0,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}] Copy the Code

hbghlyj

给定$\Bbb R^3$中两条二次曲线(不共面),是否有通过它们的二次曲面?
先简化一下:
给定xy平面中一条二次曲线与yz平面中一条二次曲线,是否有通过它们的二次曲面?

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-5-9 18:53
给定$\Bbb R^3$中两条二次曲线(不共面),是否有通过它们的二次曲面?
先简化一下:
给定xy平面中一条二次曲线 ...

等价于：
$f(x,y,z)$是二次多项式，
给出$f(x,y,0),f(0,y,z)$求$f(x,y,z)$？