椭圆锥面的圆截面

hbghlyj

Cone elliptique
$$\frac{z^2}{h^2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$$
每个椭圆锥包含圆截面。
如果我们将平面 $z = h$ 绕椭圆长轴相对于水平面旋转一个角度$\arccos \left(\frac{b}{a} \sqrt{\frac{a^{2}+h^{2}}{b^{2}+h^{2}}}\right)$，则与圆锥的交集是一个圆，所有平行平面的交集也是圆。
因此，椭圆锥也是斜圆锥。

hbghlyj

移项变为$$\frac{z^2}{h^2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}$$
左边是双曲线可正交变换为$kyz$, 得到椭圆锥面的简化的形式:
\begin{equation}\label2 x^2=kyz\end{equation}
与平面$x=Ay+Bz+C$的交集为圆的条件?
法向量$(-1,A,B)$
平面$x=Ay+Bz$的一个正交规范基$v_1=(A,1,0)/\sqrt{A^2+1},v_2=\left(B,-A B,A^2+1\right)/\sqrt{\left(A^2+1\right) \left(A^2+B^2+1\right)}$
欲将$(x,y,z)$换元成为$(0,Y,Z)$
由$(Ay+Bz,y,z)=Yv_1+Zv_2$得$\left\{\begin{aligned}y&=\frac{Y}{\sqrt{A^2+1}}-\frac{A B Z}{\sqrt{\left(A^2+1\right) \left(A^2+B^2+1\right)}}\\z&=\sqrt{A^2+1\over A^2+B^2+1}Z\end{aligned}\right.$
代入$(Ay+Bz)^2=kyz$ [因为只关心二次项,这里设$C=0$]得
\begin{multline}\label1Y^2 A^2 \left(A^2+B^2+1\right)\\- Y Z\sqrt{A^2+B^2+1} \left(A^2 k-2 A B+k\right)\\+Z^2 B \left(A \left(A^2+1\right) k+B\right)=0\end{multline}在\eqref{1}中,令$B≠0,YZ$的系数$=0,$且$Y^2$的系数$=Z^2$的系数,解得\[A=B=±\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{2-k}}\quad或\quad A=-B=±\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{-2-k}}\]后一种情况是不行的[因为$k\ge0$与$-2-k\ge0$不能都成立], 得到\begin{equation}\label3
A=B=±\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{2-k}}\quad(0<k<2)\end{equation}
所以一共有2组平行平面

hbghlyj

\eqref{3}的例子:
$x^2= y z$与$x = 1 - y - z$的交集是一个圆