$m$维仿射子空间在所有$m$维坐标子空间投影度量平方...

hbghlyj

Sets of m-dimensional objects in n-dimensional space
$\mathbb R^n$中一个$m$（$m≤n$）维仿射子空间$s$的度量平方等于它在所有$m$维坐标子空间上投影$p_i$的度量平方之和。
$$ \mu _m(s)^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf \mu_m(p_i) ^2 $$
其中：
$ \mu _{m} $是$m$维度量（一维长度，二维面积，三维体积等）。
$ s $是$\mathbb R^n$中一个$m$维仿射子空间。
$ p_i$是$s$在所有$m$维坐标子空间上的投影。
$ x $是$\mathbb R^n$中的$m$维坐标子空间数：$ {\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}} $

hbghlyj

Trirectangular tetrahedron
MSE
$$\Set{(x,y,z)|x>0∧y>0∧z>0∧\frac xa+\frac yb+\frac zc<1}$$
体积$V={\frac {abc}{6}}.$
高${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.$
底面$T_{0}={\frac {abc}{2h}}.$
侧面$T_1,T_2,T_3$
De Gua's theorem $T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.$

Nrich: Pythagoras for a Tetrahedron Age 16 to 18
r/math

by ITBlueMagma • 4 yr. ago

In a tetrahedron that has a right angled vertex (all three edges from that vertex at 90 degree angle from one another), the square of the area of the opposite face is equal to the sum of the square of all three other face's area.

kuing

用 $a$, $b$, $c$, $d$ 表示面积真不习惯😅

凭直觉，这个引理可能不成立。

记 `AB=x`, `AC=y`, `AD=z`, `\angle CAD=t`, `\angle BAD=u`, `\angle BAC=v`，则 `2a=yz\sin t` 等。

考查 `9V^2=2abc` 这个式子，当那三个夹角固定时，`V` 与 `xyz` 成正比，`abc` 与 `(xyz)^2` 成正比，可见 `V^2/(abc)` 不含 `x`, `y`, `z`，也就是 `9V^2=2abc` 将会等价于一个与 `x`, `y`, `z` 无关的等式。

而 $a^2+b^2+c^2=d^2$ 从直觉上看就应该会与 `x`, `y`, `z` 有关，不信你可以试试用余弦定理及面积公式之类的代入算算。

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卧槽，回完才发现 1# 完全换了内容，白写了……
尼玛，直角四面体的这些结论谁还用你说？？ 换也换点有意义的啊，差评威望-1

注：原 1# 的内容大致为：不知谁提出引理：若四面体四个面的面积满足 $a^2+b^2+c^2=d^2$，则体积满足 `9V^2=2abc`。

hbghlyj

当$m=1$时,线段$AB$在各坐标轴的投影,是它的分量
$$|AB|^2=\sum|A_iB_i|^2$$
当$m=2,n=3$时,是2#的直角四面体De Gua's theorem
jstor.org/stable/2319528

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hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-5-14 19:37
Let {a_i}_1⩽i⩽m, where m ⩽ n, be a set in Rⁿ. Let A be the matrix whose columns are the coordinates of a₁,...,a_m with respect to an orthonormal basis X. The volume V_m of the parallelepiped spanned by {a_i} is given by √(det A^tA), (Birkhoff and MacLane [4]).

A survey of modern algebra P.329
§10.3 Determinants as Volumes