直圆锥的顶点

hbghlyj

直圆锥与$xy$-平面相交于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 求直圆锥的顶点的集合$V$

取任意一个不在$xy$-平面上的点，可以形成一个（椭圆）锥，但我们需要它是一个直圆锥

hbghlyj

设$a>b$. 假设圆锥关于$xz$-平面对称.
设圆锥的顶点为$(p,0,q)$,圆锥的轴$L$与$xy$-平面交于$(r,0,0),\abs{r}<a$
过$(r,0,0)$作垂直于$L$的平面$\Pi$.
$\Pi$与$xy$平面交于直线$x=r$,此直线与椭圆交于$(r,b\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}})$.
若为直圆锥,则$\Pi$与圆锥的交集是一个圆,半径为$b\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}$.

在$xz$平面:

化为一道题:
$\triangle ABC$中$A(p,q),B(-a,0),C(a,0)$, 角平分线$AD$, 过$D$作$AD$的垂线交$AB$于$E$.
若$DE=b\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}$, 求$p,q$满足的关系

hbghlyj

$${a\over b}=\frac{\sqrt{b^2+p^2+q^2}}{\sqrt{b^2+q^2}}$$
所以$V$与$xz$-平面的交集是一条双曲线
\[\Set{(p,0,q)|{p^2\over a^2-b^2}-\frac{q^2}{b^2}=1}\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-5-18 09:03
设$a>b$. 假设圆锥关于$xz$-平面对称.
设圆锥的顶点为$(p,0,q)$,圆锥的轴$L$与$xy$-平面交于$(r,0,0),\abs{ ...

再假设圆锥关于$yz$-平面对称

hbghlyj 发表于 2023-5-18 10:02
所以$V$与$xz$-平面的交集是一条双曲线

所以$V$与$yz$-平面的交集是什么?

hejoseph

任意取一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 作为二次锥面的顶点，求出二次锥面方程后再求圆截面，如果圆截面的中心与顶点的连线垂直于圆截面，这个圆锥就满足要求。
用这个方法就可以求出轨迹了。

hejoseph

hejoseph 发表于 2023-5-19 09:53
任意取一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 作为二次锥面的顶点，求出二次锥面方程后再求圆截面，如果圆截面的中心与顶点 ...

点评没法发很多字符，我在这里写了。
由于二次锥面平行截面截取二次锥面的截线都是相似的（除了过锥顶点的平面外）。假设平面 $tx+uy+vz=0$ 截所求得的二次锥面 $f(x,y,z)=0$ 是圆，那么这个截面就可以写为  $tx+uy+vz=0$ 与球面 $(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2=r^2$ 截线，其中 $tx_1+uy_1+vz_1=0$，这个截线在 $xOy$ 平面的投影曲线是重合的，因而 $tx+uy+vz=0$、$f(x,y,z)=0$ 消去 $z$ 后得到的方程 $g_1(x,y)=0$ 与 $tx+uy+vz=0$、$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2=r^2$ 消去 $z$ 后得到的方程 $g_2(x,y)=0$ 是同一个方程，然后比较系数就能求出圆截面了，这里需要做的就是求出 $t$、$u$、$v$、$x_1$、$y_1$、$z_1$，$r$，其中 $t$、$u$、$v$ 只有两个是独立的。求出结果后得到的就是 $(x_1-x_0):(y_1-y_0):(z_1-z_0)=t:u:v$ 这个就是所要求 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足的轨迹方程。
但是从计算结果来看是非常复杂的。