三角函数 + 立体几何 折叠 直线距离

hjfmhh

请教一下这两题

战巡

\[f(x)=a\sin(2x)+b\cos(2x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(2x+\arctan(\frac{b}{a}))\]
既然关于$x=\frac{\pi}{6}$对称，那就有
\[2\cdot\frac{\pi}{6}+\arctan(\frac{b}{a})=\frac{\pi}{2}+k\pi\]
\[\arctan(\frac{b}{a})=\frac{\pi}{6}+k\pi\]
\[\frac{b}{a}=\tan(\frac{\pi}{6}+k\pi)=\frac{1}{\sqrt{3}}\]
故此
\[f(x)=2b\sin(2x+\frac{\pi}{6})\]
\[|f(x_{k+1})-f(x_k)|\le |4b|\]
那么当然$n$最小为$6$

第二题没图，忽略

kuing

战巡 发表于 2023-5-27 11:43
\[f(x)=a\sin(2x)+b\cos(2x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(2x+\arctan(\frac{b}{a}))\]
既然关于$x=\frac{\pi}{6}$对 ...

直接因为必有 `f'(\pi/6)=0` 就得到 `a=\sqrt3b` 了啊

而且也应该是 n=7（因为最后一项的下标是 n-1 和 n

这题算是简单题，一分钟内应该要搞定。

kuing

如图，翻折过程中，`d` 就是直线 `A'B` 与 `CD` 的距离，由于 `AB\px CD`，所以 `CD\px` 平面 `A'AB`，那么 `d=D` 到平面 `A'AB` 的距离。

设二面角 `A'`-`AB`-`D` 的平面角为 `\theta`，易知 `D` 到 `AB` 的距离 `h=\sqrt3/2`，那么 `d=h\sin\theta`，而显然 `\theta` 在翻折过程中是递减的，所以最小值就是在最后停止的时候。

三棱锥 `A'`-`BCD` 体积最大显然就是当平面 `A'BD\perp` 平面 `BCD` 时，而 `AD\perp DB`，因此停止时 `A'D\perp AD`，接下来自己算吧。

hjfmhh

kuing 发表于 2023-5-27 16:21
如图，翻折过程中，`d` 就是直线 `A'B` 与 `CD` 的距离，由于 `AB\px CD`，所以 `CD\px` 平面 `A'AB`，那 ...

能请教一下二面角A'-AB-D的平面角为什么在翻折的过程中是显然递减，感觉递增的

kuing

hjfmhh 发表于 2023-5-27 16:55
能请教一下二面角A'-AB-D的平面角为什么在翻折的过程中是显然递减，感觉递增的 ...

这样放，你觉得二面角 `A'`-`AB`-`D` 的大小是在递增还是递减？