求最小值，大神进来看看

人间风雪客

这道题，一开始我是打算用向量来做的，但是写到一半算不下去了，求导的话感觉太麻烦，求大神给一个漂亮的解法，非常感谢

kuing

这类题我称之为“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型。

所谓漂亮解法，都得基于一点：事先通过任意方式（如暴力计算、开挂，或者纯粹靠目测）猜出取等条件，然后据此凑出不等式。

当 `x\in[-1,1]` 时
\begin{align*}
x+3-\left(\frac{153-25x^2}{24\sqrt{15}}\right)^2&=\frac{(5x+3)^2(279+30x-25x^2)}{8640}\geqslant0,\\
2x+7-\left(\frac{232-25x^2}{24\sqrt{15}}\right)^2&=\frac{(5x+4)^2(416+40x-25x^2)}{8640}\geqslant0,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\sqrt{\cos x+3}+\sqrt{2\sin x+7}&\geqslant\frac{153-25\cos^2x}{24\sqrt{15}}+\frac{232-25\sin^2x}{24\sqrt{15}}\\
&=\frac{153+232-25}{24\sqrt{15}}\\
&=\sqrt{15}.
\end{align*}

isee

kuing 发表于 2023-7-30 00:13
这类题我称之为“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型。

所谓漂亮解法，都得基于一点：事先通过任意方 ...

我还以为又是随手改系数的题，木想到结果还漂亮漂亮地

其妙

isee 发表于 2023-7-30 00:28
我还以为又是随手改系数的题，木想到结果还漂亮漂亮地

已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，求$y=3\sqrt{5-4\cos x}+\sqrt{13-12\sin x}$的最小值

isee

其妙 发表于 2023-8-2 23:19
已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，求$y=3\sqrt{5-4\cos x}+\sqrt{13-12\sin x}$的最小值

以前写这种题是两头凑，在知乎提问区逛多了，发现两头凑的效率太低，还是待定系数直接（热爱数学的小咖@知乎），由单位圆 $\cos^2 x+\sin^2x=1=r^2$ 半径为 1，即将
\begin{align*}
\sqrt{45-36\cos x}&\equiv   m\sqrt{a^2+b^2+r^2-2a\cos x-2b\sin x},
\end{align*}
比较两端对应项的系数，便知 b=0，a=2，m=3.

同样的
\begin{align*}
\sqrt{13-12\sin x}&\equiv   m\sqrt{a'^2+b'^2+r^2-2a'\cos x-2b'\sin x},
\end{align*}
知在 m=3 时， a'=0，b'=2/3，从而所求转化为
\[3\bigg(\sqrt{(\cos x-2)^2+\sin^2x}+\sqrt{\cos^2 x+(\sin x-\frac23)^2} \bigg),\]
成功配方，以下就转化为几何了：

单位上圆的点到两定点  (2,0)，(0,2/3) 距离的 3 倍.

kuing

isee 发表于 2023-8-3 19:24
以前写这种题是两头凑，在知乎提问区逛多了，发现两头凑的效率太低，还是待定系数直接（热爱数学的小咖@ ...

所以这和 1# 的不是一个类型。

其妙

kuing 发表于 2023-7-30 00:13
这类题我称之为“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型。

所谓漂亮解法，都得基于一点：事先通过任意方 ...

网友解法：
令$m^{2}-3=\cos x,n^{2}-7=2\sin x$，则$4(m^{2}-3)^{2}+(n^{2}-7)^{2}=4$，
\[\begin{array}{l}
4 = \dfrac{{(9 + 16)[4{{({m^2} - 3)}^2} + {{({n^2} - 7)}^2}]}}{{9 + 16}}\\
= \dfrac{{{{[6({m^2} - 3) + 4({n^2} - 7)]}^2}}}{{25}} = \dfrac{{{{[(6{m^2} + 4{n^2}) - 46]}^2}}}{{25}}\\
\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{{(4 + 6)(6{m^2} + 4{n^2}) - 460}}{{10}}} \right]}^2}}}{{25}} = \dfrac{{{{[(4 + 6)(6{m^2} + 4{n^2}) - 460]}^2}}}{{2500}}\\
\dfrac{{{{\left[ {{{(\sqrt {24{m^2}}  + \sqrt {24{n^2}} )}^2} - 460} \right]}^2}}}{{2500}} = \dfrac{{{{[24{{(m + n)}^2} - 460]}^2}}}{{2500}}
\end{array}\]故$m+n\geqslant\sqrt{15}$，当且仅当$m=\dfrac{2}{5}\sqrt{15},n=\dfrac{3}{5}\sqrt{15}$取等号

isee

kuing 发表于 2023-8-4 00:29
所以这和 1# 的不是一个类型。

嗯！某种意义上说主楼是野得很

lye

kuing 发表于 2023-7-30 00:13
这类题我称之为“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型。

所谓漂亮解法，都得基于一点：事先通过任意方 ...

想问一下楼主是怎么待定系数的，我自己的方法(如下图）是，通过取等条件消元，然后带着参数a，打开ggb发现一定得在【-1，1】有唯一极小值点，且取等条件是x＝-3/5，然后解出a值，此时另一侧也恰好成立，感觉有点凑巧，所以想问一下kuing大佬是怎么待定的，说一下思路就行。

kuing

lye 发表于 2023-8-12 19:03
想问一下楼主是怎么待定系数的，我自己的方法(如下图）是，通过取等条件消元，然后带着参数a，打开ggb发 ...

-3/5 和 -4/5 这取等通过软件得知的，然后 `f(x)=\sqrt{x+3}`, `g(x)=a+bx^2` 解方程组 `f(-3/5)=g(-3/5)`, `f'(-3/5)=g'(-3/5)` 呗，另一个同理。

lye

kuing 发表于 2023-8-12 20:30
-3/5 和 -4/5 这取等通过软件得知的，然后 `f(x)=\sqrt{x+3}`, `g(x)=a+bx^2` 解方程组 `f(-3/5)=g(-3/5)` ...

这样算不算运气证法捏，感觉只是必要条件，未定构造出来的不等式一定就恒成立🥺

kuing

lye 发表于 2023-8-12 21:35
这样算不算运气证法捏，感觉只是必要条件，未定构造出来的不等式一定就恒成立🥺 ...

算吧，都属于试探性方法，要是不恒成立就再想别的招呗。

lye

kuing 发表于 2023-8-12 22:45
算吧，都属于试探性方法，要是不恒成立就再想别的招呗。

谢谢大佬，了解了。