$\mathbb{Z}_p$中含有$n$次本原单位根的充要条件是$n\mid(p-1)$

abababa

设$p$是素数，则有限域$\mathbb{Z}_p$中含有$n$次本原单位根的充要条件是$n\mid(p-1)$。

以下用绝对值表示元素或群的阶。
必要性简单，设$a$是一个$n$次本原单位根，则$\abs{a}=n$，显然$\abs{\mathbb{Z}_p^*}=p-1$，而元素的阶整除群的阶，所以$n\mid(p-1)$。
请教充分性要怎么证明？

hbghlyj

abababa 发表于 2023-11-7 13:49
请教充分性要怎么证明？

设$a$是$\Bbb Z_p^\times$的一个生成元，
则$a^{p-1}=1$且不存在$0<d<p-1$使得$a^d=1$，
则$(a^{p-1\over n})^n=1$且不存在$0<d<n$使得$(a^{p-1\over n})^d=1$，
则$a^{p-1\over n}$是一个$n$次本原单位根。

abababa

hbghlyj 发表于 2023-11-8 04:15
设$a$是$\Bbb Z_p^\times$的一个生成元，
则$a^{p-1}=1$且不存在$0<d<p-1$使得$a^d=1$，
则$(a^n)^{p-1\o ...

这是不是只证明了$a^n$是一个$d$次本原单位根？还没有证明$a\in\mathbb{Z}_p^*$是$n$次本原单位根吧。

觉得应该是这样的：对于$m$阶循环群$G=\langle a\rangle$，若$n\mid m$，则$G$有且只有一个$n$阶子群$\langle a^{\frac{m}{n}}\rangle$。

然后现在显然$\mathbb{Z}_p^*$是循环群，设其中一个生成元为$a$，因为$n\mid(p-1)$，所以$\mathbb{Z}_p^*$存在唯一一个$n$阶子群$\langle a^{\frac{p-1}{n}}\rangle$，其中子群的生成元$a^{\frac{p-1}{n}}$显然也属于$\mathbb{Z}_p^*$，它就是一个$n$阶元，也就是$n$次本原单位根。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-11-8 04:57
这是不是只证明了$a^n$是一个$d$次本原单位根？还没有证明$a\in\mathbb{Z}_p^*$是$n$次本原单位根吧。

謝謝指正！應該是$a^{p-1\over n}$，我寫反了，已改

hbghlyj

设$p$是奇素数，$m>0$，则$\mathbb{Z}_{p^m}$中含有$n$次本原单位根的充要条件是$n\mid p^{m-1}(p-1)$。
设$p$是奇素数，$m>0$，则$\mathbb{Z}_{2p^m}$中含有$n$次本原单位根的充要条件是$n\mid p^{m-1}(p-1)$。