$F_n$的指数为2的子群

hbghlyj

UTM groups and symmetry, Armstrong

27.4. Show that $F_n$ contains a normal subgroup of index 2.

设 $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ 是 $F_n$ 的一个基.
$F_n$ 的任意元素形如 $y_1y_2\dots y_m$，其中每个 $y_i∈\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$.
出现$x_1$的次数为偶数的词 $y_1y_2\dots y_m$ 组成一个指数为2的子群$H_1$.
$m$为偶数的词 $y_1y_2\dots y_m$ 也组成一个指数为2的子群$H_2$.

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抽象地定义一个映射$\phi$ 则$\ker\phi$就是要求的子群: 见MSE
利用 $F_n$ 的 universal property:
定义集合的映射,把$x_1$映射到$c$,其余$x_i$映射到1
$$f:\{x_1,...,x_n\}\to C_2=\langle c\rangle\,\,,\,\,f(x_1):=c\,\,,f(x_i)=1\,\,\,\forall\,i=2,3,...,n$$
则$f$可唯一扩展为群同态
$$\phi: F_n\to C_2\,\;\; s.t. \;\;\,\phi(x_i)=f(x_i)\,\,\,\forall\,i=1,2,....,n\,$$则$\ker\phi=H_1$.

hbghlyj

根据指数为2的子群为正规子群 $H_2$也是正规子群,所以也能表示为某个群同态的核.
我想应该对上面的$f$稍作修改
取$f(x_i)=c\,\,\,\forall\,i=1,2,....,n$
$f$唯一扩展为群同态$\phi$
则$H_2=\ker\phi$.
对吗
那么是不是可以任意取$\{x_1,\dots,x_n\}$的一个子集映为$c$,导出很多个$\phi$呢

Czhang271828

$F_n$ 是自由群?
按照基的定义, 以上映射定义没问题. 其中指数为 $2$ 的子群当然不必唯一, 例如 $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ 就有三个指数为 $2$ 的子群.