$G$所有Sylow子群都不正规，那么$G$是单群吗？

hbghlyj

$G$所有Sylow子群都不正规，那么$G$是单群吗？

Czhang271828

原来的提示看着没用: 如果 $G$ 的 Sylow 子群都不正规, 那么 $G\times G$ 的 Sylow 子群是不是也都不正规?
反例: $S_n$ ($n\geq 5$) 的正规子群只有 $A_n$, 显然不是 Sylow 子群.

按照 Small Group 目测了一下, 最小的反例是 $S_4$, 有 $3$ 个 Sylow $2$-子群与 $4$ 个 Sylow $3$-子群.

给出指定群所有 Sylow $p$-子群的 $\mathsf{GAP}$ 指令如下:

1. # Input: k-th Small group with order n; Prime p, a divisor of n.
2. G := SmallGroup(n,k);
3. AsList(SylowSubgroup(G,p)^G);
4. # Output: All Sylow p-subgroups of SmallGroup(n,k).

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hbghlyj

如果 $G$ 的 Sylow 子群都不正规, 那么 $G\times G$ 的 Sylow 子群也都不正规?

如何证明呢

Czhang271828

Czhang271828 发表于 2023-5-18 12:58 原来的提示看着没用: 如果 $G$ 的 Sylow 子群都不正规, 那么 $G\times G$ 的 Sylow 子群是不是也都不正规? ...

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