$G_1,G_2$正规且交为1,能不能得到$G_1G_2\cong G_1\times G_2$？

abababa

设$G$是群，$G_1,G_2$都是$G$的正规子群，且$G_1\cap G_2=\{1\}$，能不能得到$G_1G_2\cong G_1\times G_2$？其中$1$是$G$中的幺元。

我想的是弄出一个映射$\varphi:G_1G_2\to G_1\times G_2, g_1g_2\mapsto (g_1,g_2)$。然后显然$\varphi$是满射。对任意的$g_1g_2,h_1h_2\in G_1G_2$，若$\varphi(g_1g_2)=\varphi(h_1h_2)$，就有$(g_1,g_2)=(h_1,h_2)$，所以$g_1=h_1,g_2=h_2$，所以$g_1g_2=h_1h_2$，因此$\varphi$是单射，所以$\varphi$是双射。

下面我想证明$\varphi$能保持群乘法，但没证明出来。这个命题是对的吗？如果是对的，要怎么才能证明？

hbghlyj

Remark 96 A semi-direct product $N\rtimes H$ is in fact direct when $N$ and $H$ are normal.
To see this recall that each element can be uniquely written $nh$ where $n ∈ N$ and $h ∈ H$. Then note
\[\left(n_1 h_1\right)\left(n_2 h_2\right)=\left(n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}\right)\left(h_1 h_2\right)=\left(n_1 n_2\right)\left(n_2^{-1} h_1 n_2 h_2\right)\]
By uniqueness $n_1h_1n_2h^{−1}_1 = n_1n_2$ so that $h_1n_2 = n_2h_1$ and hence the product is in fact direct.

hbghlyj

page 34 Say then that $G=G_1 G_2$ for two subgroups $G_1$ and $G_2$. As
$$
\left|G_1 G_2\right|=\frac{\left|G_1\right|\left|G_2\right|}{\left|G_1 \cap G_2\right|}
$$
we know that the expression $g=g_1 g_2$ will be unique if $G_1 \cap G_2=\{e\}$.

abababa

hbghlyj 发表于 2023-9-11 21:01
$G$是交换群，则任意子群都是正规子群.
设$G=C_2\times C_2\times C_2$
$G_1=\{1\}\times \{1\}\times C_2$ ...

这个是错的。主楼的我证明出来了。
设$g_1\in G_1,g_2\in G_2$。由于$G_1$是$G$的正规子群，所以$g_1g_2g_1^{-1}\in g_1G_2g_1^{-1}=G_2$，于是$g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}\in G_2g_2^{-1}=G_2$。同理还可知$g_2g_1^{-1}g_2^{-1}\in g_2G_1g_2^{-1}=G_1$，所以
\[[g_1,g_2]=g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}\in G_1\cap G_2=\{1\}\]

即分别属于$G_1,G_2$的元素可交换。

然后对任意的$g_1g_2,h_1h_2\in G_1G_2$，因为可交换，所以$g_2h_1=h_1g_2$，于是
\[\varphi((g_1g_2)(h_1h_2))=\varphi((g_1h_1)(g_2h_2))=(g_1h_1,g_2h_2)=(g_1,g_2)\times(h_1,h_2)=\varphi(g_1g_2)\times\varphi(h_1h_2)\]

所以$\varphi$是同态映射，就成为双射同态，所以$G_1G_2\cong G_1\times G_2$。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-9-12 12:15
这个是错的。

知道错的原因了。$G_1\cong G_1',G_2\cong G_2'$不能推出$G_1G_2\cong G_1'G_2'$
我以后会更加注意