$A_5$是2-生成的

hbghlyj

1. G := AlternatingGroup(5);
2. g1 := G!(1,2,3,4,5);
3. g2 := G!(1,2)(3,4);
4. sub< G | g1, g2 >eq G;

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Output:        True
$A_5$是由(12345)和(12)(34)生成的.
证明:MSE

hbghlyj

1. A5 := AlternatingGroup(5);
2. G := DirectProduct(A5,A5);
3. g1 := G!(1,2,3,4,5)(6,7)(8,9);
4. g2 := G!(1,2)(3,4)(6,7,8,9,10);
5. G eq sub< G | g1, g2 >;

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Output:        True

hbghlyj

$A_5\times A_5\times A_5$是2-生成的吗

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-6-7 21:12
$A_5\times A_5\times A_5$是2-生成的吗

实际上, 任意有限单群都可以由 $2$ 个共轭元生成. Google 上找找就有这个著名结论了.

$A_5$ 中的元素无非这几类: $e$, $(i\,j)(k\,l)$, $(i\,j\,k)$, $(i\,j\,k\,l\,m)$, 阶数分别是 $1,2,3,5$​, 数量分别为 $1,15,20,24$. 那么判断
$$
A_5\times A_5\times A_5
$$
$2$-生成与否就是个简单数论题目了.

例如取
$$
\begin{align*}
a&=(3\text{ 阶元})(5\text{ 阶元})(2\text{ 阶元}),\\
b&=(2\text{ 阶元})(3\text{ 阶元})(5\text{ 阶元}).
\end{align*}
$$
那么 $a^{10}=(3\text{ 阶元})ee$, $b^{15}=(2\text{ 阶元})ee$, 那么 $a^{10}$ 和 $b^{15}$ 生成 $A_5\times \{e\}\times \{e\}$. 下略.

存在最小的 $N$ 使得 $\prod_{1\leq k\leq N}A_5$ 不是 $2$-生成的, 其中 $4\leq N\leq 60^2$. 求解 $N$ 的具体方式见下楼?

---------------------------------------------

还要说明下
$$
\langle(123),(12345)\rangle=A_5.
$$
这里发现
$$
(1,2,3,4,5)\to (3,4,5,1,2)\to(4,5,3,1,2)
$$
的复合是 $(14)(25)$, 根据主楼链接得
$$
\langle(123),(12345)\rangle=\langle (14)(25),(123),(12345)\rangle=A_5.
$$
将上述过程反一下, 可以发现存在生成 $5$-阶元的 $2$-阶元与 $3$-阶元. 不妨设 $a$ 的位置 $1$ 与 $b$ 的位置 $1$ 取的就是这两个元.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-6-7 15:05
实际上, 任意有限单群都可以由 $2$ 个共轭元生成. Google 上找找就有这个著名结论了.

我原来问过 有限的 2 生成群的子群也是 2 生成的吗？

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-6-7 15:05
显然 $A_5\times A_5\times A_5\times A_5$ 不是 $2$-生成的, 证明同上.

是不是因为$2,3,5$只能组成3个互质的配对2,3  2,5  3,5
\begin{align*}
a&=(3\text{ 阶元})(5\text{ 阶元})(2\text{ 阶元}),\\
b&=(2\text{ 阶元})(3\text{ 阶元})(5\text{ 阶元}).
\end{align*}
从这个例子看出:每列,每行元素需要两两互质

Czhang271828

Czhang271828 发表于 2023-6-7 22:05
实际上, 任意有限单群都可以由 $2$ 个共轭元生成. Google 上找找就有这个著名结论了.

$A_5$ 中的元素无 ...

今后统一用 $[k]$ 表示 $k$ 阶元吧. 我们先尝试说明以下 $\prod_{1\leq k\leq 4}A_5$ 是 $2$-生成的. 例如取
$$
\begin{matrix}
&1&2&3&4\\
\text{生成元}&[2]&[2]&[3]&[5]\\
\qquad \lfloor&[3]&[5]&[2]&[2]\\\\
\Longrightarrow&[1]&[1]&[1]&[5]\\
\qquad \lfloor&[1]&[1]&[2]&[2]\\\\
\Longrightarrow&[1]&[1]&[1]&[5]\\
\qquad \lfloor&[1]&[1]&[2]&[3]\\\\
\Longrightarrow&[1]&[1]&[1]&[5]\\
\qquad \lfloor&[1]&[1]&[1]&[3]\\
\end{matrix}
$$
可知子群 $\{e\}\times\{e\}\times\{e\}\times A_5$ 是 $2$-生成的. 根据对称性, $\prod_{1\leq k\leq 4}A_5$ 是 $2$-生成的.



我们断言, 存在某个 $N$ 使得
$$
\left[\prod_{1\leq k\leq s} A_5\text{ $2$-生成}\right]\Longleftrightarrow [1\leq s\leq n].
$$
先证明 $N$ 存在. 根据鸽笼原理, 对任意 $s\geq |A_5|^2$, 某两个 index 上的两组生成元相同, 例如
$$
\begin{matrix}
\cdots&i_0&\cdots &j_0&\cdots\\
\cdots&(123)&\cdots &(123)&\cdots\\
\cdots&(12345)&\cdots &(12345)&\cdots
\end{matrix}
$$
从而生成群中不含形如
$$
\begin{matrix}
\cdots&i_0&\cdots &j_0&\cdots\\
\cdots&(123)&\cdots &(1)&\cdots
\end{matrix}
$$
的元素. 显然
$$
\left[\prod_{1\leq k\leq s} A_5\text{ $2$-生成}\right]\Longleftarrow \left[\prod_{1\leq k\leq s+1} A_5\text{ $2$-生成}\right]\
$$
从而这样的 $N$ 存在, 粗略的上界为 $|A_5|^2$.



再注意到
$$
\begin{matrix}
\cdots&i_0&\cdots &j_0&\cdots\\
\cdots&(12)(34)&\cdots &(23)(15)&\cdots\\
\cdots&(12345)&\cdots &(12345)&\cdots
\end{matrix}
$$
显然 $2$-生成群
$$
\langle(12)(34)\times (12345),\quad (23)(15)\times (12345)\rangle
$$
的大小为 $60$ 而非 $60^2$.



方便起见, 称以上的 $\substack{(12)(45)\\(12345)}$ 与 $\substack{(23)(15)\\(12345)}$ 不互质. 若 $\substack{a\\b}$ 与 $\substack{c\\d}$ 互质, 当且仅当
$$
\langle a\times c,\quad b\times d\rangle\simeq A_5\times A_5.
$$
若 $\substack{[2] \\ [2]}$ 为 $A_5$ 的生成元, 则其一定是 $\substack{(ij)(kl)\\ (jl)(im)}$ 的形式换言之, 下方对换形如'上方两个对换中各取一元生成的对换'+'上方对换中任一元与第五元生成的对换'. 从而任意两个形如 $\substack{[2]\\ [2]}$ 的生成元不互质.

若 $\substack{[2] \\ [3]}$ 为 $A_5$ 的生成元, 则其一定是 $\substack{(ij)(kl)\\ (ikm)}$ 的形式. 因为下方 $3$-轮换一定与上方每个对换以及第五元相交. 从而任意两个形如 $\substack{[2]\\ [3]}$ 的生成元不互质.

若 $\substack{[3] \\ [3]}$ 是 $A_5$ 的生成元, 则其一定是 $\substack{(ijk)\\ (kml)}$ 的形式. 因为用两个 $3$-轮换覆盖五个元素的方式仅此一类. 从而任意两个形如 $\substack{[3] \\ [3]}$ 的生成元不互质.

若 $\substack{[5] \\ [2]}$ 是 $A_5$​ 的生成元, 则其形如以下下三种形式之一.
$$
\substack{(12345)\\(12)(34)},\quad \substack{(12345)\\(14)(23)},\quad \substack{(12345)\\(13)(24)}.
$$
下表中第四行由'第三行复合第二行'得到
$$
\begin{matrix}
1&2&3\\
(12345)&(12345)&(12345)\\
(12)(34)&(14)(23)&(13)(24)\\
[3]&[2]&[5]
\end{matrix}
$$
从而三类形如 $\substack{[5] \\ [2]}$ 的生成元两两互质.

若 $\substack{[5] \\ [3]}$ 是 $A_5$ 的生成元, 则其形如以下下两种形式之一.
$$
\substack{(12345)\\ (123)},\quad \substack{(12345)\\ (124)},\quad \substack{(12345)\\ (132)},\quad \substack{(12345)\\ (142)}.
$$
下表中第四行由'第三行复合第二行'得到, 第五行由'第三行复合第四行'得到
$$
\begin{matrix}
1&2&3&4\\
(12345)&(12345)&(12345)&(12345)\\
(123)&(124)&(132)&(142)\\
[5]&[5]&[3]&[2]\\
[3]&[2]&[5]&[5]
\end{matrix}
$$
仿照开头处理 $\prod_{1\leq k\leq 4}A_5$ 的方式, 这四类形如 $\substack{[5] \\ [3]}$ 的生成元两两互质.

若 $\substack{[5]\\ [5]}$ 是 $A_5$ 的生成元, 则其形如以下下三种形式之一.
$$
\substack{(12345)\\ (13245)},\quad \substack{(12345)\\ (12534)},\quad \substack{(12345)\\ (15423)},\quad \substack{(12345)\\ (14352)}.
$$
下表中第四行由'第二行复合第三行'得到, 第五行由'第二行复合第四行'得到
$$
\begin{matrix}
1&2&3&4\\
(12345)&(12345)&(12345)&(12345)\\
(13245)&(12534)&(15423)&(14352)\\
[2]&[5]&[3]&[3]\\
[5]&[3]&[3]&[2]
\end{matrix}
$$
仿照开头处理 $\prod_{1\leq k\leq 4}A_5$ 的方式, 这四类形如 $\substack{[5] \\ [5]}$ 的生成元两两互质.

综上, $\substack{[2] \\ [2]}$ 共计一类, $\substack{[2] \\ [3]}$ 共计一类, $\substack{[3] \\ [2]}$ 共计一类, $\substack{[3] \\ [3]}$ 共计一类, $\substack{[5] \\ [2]}$ 共计三类, $\substack{[2] \\ [5]}$ 共计三类, $\substack{[5] \\ [3]}$ 共计四类, $\substack{[3] \\ [5]}$ 共计四类, $\substack{[5] \\ [5]}$ 共计四 类. 从而 $N=22$.