Hom(G,K)和Hom(H,K)扩展为Hom(G*H,K)

hbghlyj

UTM groups and symmetry, Armstrong
与定理 (27.4) [将 X→H 唯一扩展为 G→H，其中 X 是 G 的一组自由生成元]有某种关系？

练习27.11. $G$ 和 $H$ 为群 $P$ 的子群。证明
$P$ 与自由积 $G * H$ 同构，这个同构限制在 $G$ 和 $H$ 上是恒等，
——当且仅当——
任意一个群 $K$，给定从 $G$ 到 $K$ 的一个同态和 $H$ 到 $K$ 的一个同态，它们可唯一扩展为一个从整个 $P$ 到 $K$ 的同态。

2 个拓扑空间的乘积具有类似的性质？

hbghlyj

在math200a找到了证明Lecture 13: Universal property of free product

在 Aleksander Horawa 的文章Free groups and geometry
Ex. Suppose a group $G$ is generated by two elements $a$ and $b$ of order 2. Then $\exists\Phi:(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) *(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \twoheadrightarrow G$ which is an onto group homomorphism.	Pf. Let $\phi_{a}: \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \rightarrow G , \phi_{b}: \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \rightarrow G$. By the universal property of free products $\exists \Phi: \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\rightarrow G$ s.t. $\phi$ restricted to $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$'s gives us $\phi_a$ and $\phi_b$. In particular $a, b \in \operatorname{Im} \phi$; and so $\phi$ is onto.
第7页有一个图$\xymatrix{G_1 \ar[r]^{\alpha_1}\ar[dr]_{\varphi_1} & G\ar@{-->}[d]^\varphi & G_2\ar[l]_{\alpha_2}\ar[dl]^{\varphi_2}\\&H}$	类似于Wikibook上看到的Coproduct-03.png

Czhang271828

一些范畴论通识性的知识:

(1) 余积与积的存在性问题: 余积与积并不是所有范畴具备的, 常见的群范畴, 集合范畴, $R$-模范畴, 拓扑空间范畴$^\star$, 拓扑群范畴等等都是有的. 此处的积与余积指的是二元(等价地, 有限)情形, 有限集合范畴固然不存在无限积/无限余积.

$\star$: 拓扑空间范畴的通常定义不大好, 一个常见的例子是 $\mathrm{Hom}(X,Y)$ 作为态射范畴的拓扑(紧-开拓扑)与传统的 Tensor-Hom 伴随结合的不是太好, 往往需要 locally compact & Hausdorff 的条件; 一种定义拓扑空间范畴的更好方式是考虑把所有对象的预层做成 topos. 不过这不影响后文就积, 余积的讨论.

(2) 何为泛性质? 唯一性是泛性质的结果, 而非对"泛性质"一词的阐释. 泛性质指依靠始对象, 终对象, 零对象决定的性质, 尤其是在原范畴的态射范畴内. 当然也可以用 Kan-延拓来说明之, 余积, 积等概念会与伴随函子更加契合.

例如给定存在余积的范畴 $\mathcal C$, 称 $X$ 与 $Y$ 的余积 $X\coprod Y$ 为范畴 $\tilde C'$ 中的终对象. 其中 $\tilde C'$ 中对象为三元组 $(\Phi, M, \Psi)$ 决定的图
\[
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)\overset{\Phi}\longleftarrow  \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(M,-)\overset {\Psi}\longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,-)
\]
米田引理告诉我们, 自然变换 $\Phi$ 等价于 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,M)$ 中态射.  $\tilde C'$ 中态射为使得下图交换的三元组 $(\mathrm{id}_{\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)},\alpha,\mathrm{id}_{\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,-)})$. (依照米田引理, 不妨将自然变换 $\alpha$ 写作 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\phi,-)$.)
\begin{align*}
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)&\overset{\Phi}\longleftarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(M,-)\overset {\Psi}\longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,-)\\
\downarrow \mathrm{id}_{\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)}&\quad\qquad\downarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\phi,-)\qquad\downarrow\mathrm{id}_{\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)}\\
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)&\overset{\Phi'}\longleftarrow  \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(M',-)\overset {\Psi'}\longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,-)\\
\end{align*}
该范畴中的终对象为
\[
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)\overset{\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\alpha_1,-)}\longleftarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X\coprod Y,-)\overset{\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\alpha_2,-)}\longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,-).
\]

(3) 通常范畴的积与余积举例:
(a) 集合范畴的积为 Cartesian 积, 余积为无交并. 若无穷积/余积可定义, 则照常定义.
(b) 群范畴的积为群直积, 余积为自由积. 由于群是自由群的商群, 群余积对应商关系的无交并, 也就是自由积. 若无穷积/余积可定义, 则照常定义.
(c) 拓扑空间的积即积拓扑, 余积为无交并. 若无穷积/余积可定义, 则照常定义$^\ast$.
$\ast$: 积拓扑是使得投影映射(结构态射)连续的最粗拓扑, 箱拓扑细于积拓扑. 一种朴素的直觉是, 拓扑研究一些有限或余有限结构.
(d) 对拓扑群而言, 两个拓扑群的积采用群积与积拓扑; 两个拓扑群的余积较为复杂, 不过可依照范性质验证其存在性.
(e) 对 Abel 范畴(线性代数)而言, 有限积与有限余积等价. 常见的 $R$-模范畴(包括 $\mathbb k$-线性空间范畴, Abel 群范畴($\mathbb Z$-模范畴), 链复形范畴等等).  

(4) 一些推论. $\mathcal C$ 为允许积与余积的范畴, 则有自然同构
\begin{align*}
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\coprod_{i\in I}X_i,-)&\simeq \prod_{i\in I}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X_i,-),\\
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,\prod_{i\in I}X_i)&\simeq \prod_{i\in I}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,X_i).
\end{align*}
Abel 范畴中有更多的典范态射, 以上构造的预层间的同构可自然导出紧对象的概念. 例如 $R$-模范畴的紧对象 $K$ (实际上是有限生成模)使得有下列典范同构
\[
\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(K,\coprod_{i\in I}X_i)\simeq \coprod_{i\in I}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(K,X_i).
\]
这也是上文所说的, 把拓扑空间放在预层里看会好一点.