棱锥内切球

力工

下面这题可以直接猜$PA,PB,PC$两两垂直来做，求助，如何老实地解答更好呢？
三棱锥$P-ABC$中，$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA,\triangle ABC$的面积分别为$3,4,12,13$,且$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$,求此棱锥的内切球表面积。

kuing

可以证明出来的。

设 `\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=\theta` 以及 `PA=x`, `PB=y`, `PC=z`，则有 `2\S{PAB}=xy\sin\theta` 等三式，以及 `AB^2=x^2+y^2-2xy\cos\theta` 等三式，则
\begin{align*}
&\S{PAB}^2+\S{PBC}^2+\S{PCA}^2-\S{ABC}^2\\
={}&\frac{\sin^2\theta}4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-\frac{2(AB^2BC^2+BC^2CA^2+CA^2AB^2)-AB^4-BC^4-CA^4}{16},
\end{align*}
代入化简可得
\[\S{PAB}^2+\S{PBC}^2+\S{PCA}^2-\S{ABC}^2=\frac12xyz(x+y+z)\cos\theta(1-\cos\theta),\]
由此得到如下命题：

若三棱锥 `P`-`ABC` 满足 `\angle APB=\angle BPC=\angle CPA`，则 `PA`, `PB`, `PC` 两两垂直当且仅当 `\S{PAB}^2+\S{PBC}^2+\S{PCA}^2=\S{ABC}^2`。

楼主的题中恰好就有 `3^2+4^2+12^2=13^2`，所以的确是两两垂直的。