立体几何

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平面 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 两两平行，且 $\alpha_i$ 与 $\alpha_{i+1}$ 的距离均为 $d, i=1,2,3$ ．已知正方体 $A B C D{-}A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 1，且 $A \in \alpha_1, B_1 \in \alpha_2, C \in \alpha_3, D_1 \in \alpha_4$．
（1）求 $d$；
（2）求 $\alpha_1$ 与平面 $A_1 B D$ 夹角的余弦值．

kuing

（1）设平面 `\alpha_1` 的法向量为 `\bm n`，记 `\bm n` 与直线 `AA_1`, `AB`, `AD` 的夹角分别为 `\theta_1`, `\theta_2`, `\theta_3`，则有
\[\cos^2\theta_1+\cos^2\theta_2+\cos^2\theta_3=1,\]
点 `A_1`, `B`, `D` 到平面 `\alpha_1` 的距离分别为 `\cos\theta_1`, `\cos\theta_2`, `\cos\theta_3`，则点 `B_1`, `C`, `D_1` 到平面 `\alpha_1` 的距离分别为 `\cos\theta_1+\cos\theta_2`, `\cos\theta_2+\cos\theta_3`, `\cos\theta_1+\cos\theta_3`，依题意有
\[\cos\theta_1+\cos\theta_2=d,~\cos\theta_2+\cos\theta_3=2d,~\cos\theta_1+\cos\theta_3=3d,\]
得到
\[\cos\theta_1=d,~\cos\theta_2=0,~\cos\theta_3=2d,\]
代入上面即得 `d=1/\sqrt5`。

（2）由（1）的过程知实际上平面 `\alpha_1` 过 `AB`，且……

吃饭了，懒得写了，略吧……