从模 $m$ 不可约性推出整数环上的不可约性

hbghlyj

命题：一个整系数多项式，如果其所有系数互质，并且对于某个整数 $m$ 在模 $m$ 的环 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 上不可约，则该多项式在整数环上也不可约。
乍一看，这个命题似乎有其合理性，然而是错误的。
构造 $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$

• 多项式 $f(x)$ 的一个系数是 $1$，所以满足系数互质的条件。
• 分解为 $f(x)=(mx+1)(x+1)$，因此 $f(x)$ 是可约的。
• 将 $f(x)$ 的系数对 $m$ 约化：$\bar{f}(x)=x+1$ 是不可约的。

我们找到了一个多项式 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 上可约，对 $m$ 约化后却是不可约的。