李--张包络多边形定理（奇数边情况）

1+1=？

给定一条非退化二次曲线$g$及$2n(n\geqslant1)$条任意代数曲线$f_{n}$，向$g$上一点$P_{1}$引$f_{1}$的一条切线$l_{1}$交$g$于点$P_{2}$，$l_{1}$关于$f_{1}$的切点为$Q_{1}$，再向点$P_{2}$引$f_{2}$的一条切线$l_{2}$交$g$于点$P_{3}$，$l_{2}$关于$f_{2}$的切点为$Q_{2}$，重复此过程直至得到点$P_{2n+1}$，则直线$P_{1}P_{2n+1}$包络一条代数曲线$f_{2n+1}$，又设$P_{1}P_{2n+1}$关于$f_{2n+1}$的切点为$Q_{2n+1}$，则直线集${P_{i}Q_{n+i}(1\leqslant i \leqslant n+1)}$相交于一点.

1+1=？

先证明$n=1$的命题，
等价于：圆内接三角形$ABC$的两边分别与两条任意代数曲线相切，当$\triangle ABC$运动时，则第三条边包络另一条代数曲线，且第三边包络点与另外两边上的切点这三个点构成$\triangle ABC$的Ceva三角形.

1+1=？

1+1=？ 发表于 2025-8-3 13:54
先证明$n=1$的命题，
等价于：圆内接三角形$ABC$的两边分别与两条任意代数曲线相切，当$\triangle ABC$运动 ...

如图所示，向$B$点作$f_1$的切线交$g$于$A$点，将该过程考虑为$B$到点$A$的位置映射$\overrightarrow{φ_{1}}$，$\overrightarrow{φ_{1}}$由$g,f_1$决定，由解析几何知识易知：若$g,f_1$是代数曲线则位置映射$\overrightarrow{φ_{1}}$的分量是代数函数，设$A  \mapsto C$的映射为$\overrightarrow{φ_{2}}$则有$B \xrightarrow{\overrightarrow{φ_{1}}} A \xrightarrow{\overrightarrow{φ_{2}}}C  \Longleftrightarrow  B \xrightarrow{\overrightarrow{φ_{1}}◦\overrightarrow{φ_{2}}} C $.
由于$\overrightarrow{φ_{1}},\overrightarrow{φ_{2}}$的分量是代数函数故$\overrightarrow{φ_{1}}◦\overrightarrow{φ_{2}}$的分量也是代数函数，即$BC$包络由$\overrightarrow{φ_{1}}◦\overrightarrow{φ_{2}}$决定的代数曲线.
于是原命题转化为：
设直线$ \begin{cases} AB \\ AC \\ BC \end{cases}$关于时间$t$的位置函数为$ \begin{cases} {\overrightarrow{u_{1}(t)}= \overrightarrow{B(t)} \times (\overrightarrow{φ_{1}} ◦ \overrightarrow{B(t)})} \\ {\overrightarrow{u_{2}(t)} =\overrightarrow{A(t)} \times (\overrightarrow{φ_{2}} ◦ \overrightarrow{A(t)})}\\ {\overrightarrow{u_{3}(t)}=\overrightarrow{B(t)} \times (\overrightarrow{φ_{1}} ◦ \overrightarrow{φ_{2}}◦ \overrightarrow{A(t)})} \end{cases}$
则包络点$D$由运动学知识可以定义为$D=\lim_{\Delta t\to0}\overrightarrow{u_{1}(t)}\times\overrightarrow{u_{2}(t+\Delta t)}$
仿此定义另外两点$E,F$，注意到代数曲线的光滑连续性，即$\overrightarrow{φ_{1}}，\overrightarrow{φ_{2}}，\overrightarrow{φ_{3}}=\overrightarrow{φ_{1}} ◦ \overrightarrow{φ_{2}}$是连续的，故$\overrightarrow{u_{1}(t)},\overrightarrow{u_{2}(t)},\overrightarrow{u_{3}(t)}$也是连续的，于是设$t$时刻的包络三角形为$\triangle ABC$，$t+\Delta t $时刻的包络三角形为$\triangle A_1B_1C_1$，则必有$\Delta t \rightarrow 0 $时，$\begin{cases} A_1\rightarrow A \\ B_1\rightarrow B \\ C_1\rightarrow C \end{cases}$
如图所示，命题进一步转化为：证明$\Delta t \rightarrow 0 $时，$AF,BE,DC$三线共点，又设$\triangle ABC$与$\triangle A_1B_1C_1$的另外三个交点为$G,H,I$,由帕斯卡定理，$g$上的6点$A,B,C,A_1,B_1,C_1$