立体几何，向量，动点区域体积

lrh2006

正三棱锥 $O-A B C$ 的每一条棱长均为 1 ，若 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}(0 \leq x, y, z \leq 1)$ ，且满足 $1 \leq x+y+z \leq 2$ ，则动点 $P$ 的轨迹所围成的区域的体积是

点P的轨迹是什么，求指点，求过程，谢谢

kuing

如果没有 $1\le x+y+z\le2$ 的话，那轨迹就是一个平行六面体：

那么，加上 $1\le x+y+z\le2$ 即是取两个平面之间的部分，$x+y+z=1$ 就是 $\triangle ABC$ 所在平面，$x+y+z=2$ 就是 $\triangle DEF$ 所在平面，所以截出来的就是这样一个图形：

这个多面体就是 P 的轨迹。

至于体积的计算是简单的，设原来四面体 $O\text-ABC$ 的体积为 V，则整个平行六面体的体积是 6V，去掉的两部分全等，故此所求体积就是 4V。

三尺水

边长2的正三棱锥减去边长1的正三棱锥

乌贼

不考虑$1\leqslant x+y+z\leqslant2$，如图，等式左边向量和$Q$点必然在多面体$PBEC-D-A-F$中，有$P$到平面$ABC$的距离大于等于$O$到平面$ABC$的距离且不同侧……

lrh2006

回复 2# kuing


    好像有点知道了，但是又不是特别清楚。为什么x+y+z=2时，就是△DEF所在平面？这种一个向量用另外三个同起点的向量表示，轨迹怎么看的？

lrh2006

回复 3# 三尺水


    谢谢，但是不太明白是什么意思

色k

回复  kuing


    好像有点知道了，但是又不是特别清楚。为什么x+y+z=2时，就是△DEF所在平面？这种一个 ...
lrh2006 发表于 2016-6-5 22:28

DEF面到O的距離是ABC的兩倍，所以就是=2的面

乌贼

设$x+y+z=a$，构造一边长为$a$的正三棱锥，如图所示，$P$点落在三棱锥底面上。

lrh2006

回复 8# 乌贼


    必须要构造棱长为a的正三棱锥，也就是正四面体，才能有这个结论，是吧？

色k

回复 9# lrh2006

然而二楼的结论是对任意四面体成立的，也就是说原题的第一句话可以改成“已知四面体OABC体积为V”，答案也是4V。

lrh2006

回复 10# 色k


  x+y+z=1时，P与A,B,C共面，所以 P在三角形ABC所在平面，这个结论对任意四面体成立，我知道。 x+y+z=2时，若四面体OABC不是正四面体，那么“DEF面到O的距離是ABC的兩倍，所以就是=2的面”，还成立吗？为什么？是不是可以这样说，对任意四面体，若 x+y+z=1时P的轨迹记为m,x+y+z=t时P的轨迹记为n，那么O到n的距离是O到m距离的t倍吗？

删广告专用

回复 11# lrh2006

成立，嗯。

lrh2006

回复 12# 删广告专用


    能解释下吗？

删广告专用

回复 13# lrh2006

这个你最好自己想，感悟一下，到你突然想通了，那你就升级了。

lrh2006

回复 14# 删广告专用


    好像知道了，谢谢噢

isee

设$x+y+z=a$，构造一边长为$a$的正三棱锥，如图所示，$P$点落在三棱锥底面上。
...
乌贼 发表于 2016-6-6 04:50

    很久不见了，半夜出来吓人啊。。。。。。。。

游客

用四点共面的知识得到，一个棱长为2的正四面体，去掉四个角上棱长为1的正四面体。




$\vv{OP}=x\vv{OA}+y\vv{OB}+z\vv{OC},x+y+z=u$,
$\vv{OP'}=\dfrac{1}{u}\vv{OP}=\dfrac{x}{u}\vv{OA}+\dfrac{y}{u}\vv{OB}+\dfrac{z}{u}\vv{OC},x+y+z=u$,
A,B,C,P' 四点共面。
U=1，平面ABC；U=2，平面DEF；x=1，平面AGH；……