过点P且与平面α，β所成的角都是25°的直线的条数为多少

走走看看

已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α，β所成的角都是25°的直线的条数为（　　）
A. 2    B. 3   C. 4    D. 5

这道题，网络上有许多相同的答案，但第二种情况都没有画出来具体角度的示意图。
wesiedu.com/zuoye/8809444012.html

看了半天也没有看懂第二种情况。
类似的情况，把25°改成65°，把25°改成35°，这两种情况又怎样呢？有人说1个，有人说2个。
更像是0个。

请大家赐教！

zhcosin

那帖子说得很清楚啊，这考的不就是空间想象力么，画个图也没啥用，缺乏立体感，你还不如拿几根筷子在桌子比划比划。

力工

转化成与两平面的法向量的夹角为65度就可以了，画圆锥看交线。

kuing

对，就是画双锥，看交线，就像这帖：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2297720

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链接已挂，幸好有存档，帖中关键图片如下：

乌贼

只在过点$P$且垂直于二面角角平分线的平面上方存在两园交点$M，N$（此时两园弦长相等），同理有$M_1，N_1$两点，$P$点为矩形$MNM_1N_1$中心

走走看看

很想知道黑角25°时，怎么保证红角也是25°。

走走看看

回复 5# 乌贼
这个图很漂亮，马上比划一下。   一共3条线，其中一条是PQ，另两条呢？

kuing

这个图很漂亮，马上比划一下。   一共3条线，其中一条是PQ，另两条呢？
走走看看 发表于 2017-5-26 16:55

这……非要画空间图才行吗？但这样你就少了一次锻炼空间相象力的机会喔

走走看看

版主的图也非常漂亮，我把版主和乌贼的图都下载到了电脑里，慢慢欣赏。
谢谢大家！

hejoseph

可以考虑这个问题：直线 $a$、$b$ 是异面直线，$P$ 是空间一点，直线 $l$ 过点 $P$，$a$ 与 $l$ 的所成角是 $\alpha$（$0^\circ<\alpha\leqslant90^\circ$），$b$ 与 $l$ 的所成角是 $\beta$（$0^\circ<\beta\leqslant90^\circ$），$a$ 与 $b$ 的所成角是 $\theta$（$0^\circ<\theta\leqslant90^\circ$），其中 $\theta$ 已知，问直线 $l$ 是否存在？如果存在，则 $\alpha$、$\beta$ 需要满足什么条件，满足条件的直线有多少条？

走走看看

回复 10# hejoseph



    我的理解是P可以在空间的任意地方，但几位大师的图都是把P定在二面角的角平分面上。

     我的理解错了吗？

     请大师们指点一二。

realnumber

回复 11# 走走看看


    平移一下就好,平移不会改变角的大小.

realnumber

试试转化为向量的代数办法
设1楼 α，β平面的法向量依次设为$\vv{n}=(1,0,0),\vv{m}=(\cos 50 \du ,\sin 50 \du,0)$，
过点P的符合题意的直线方向向量$\vv{p}=(\cos x,\sin x\cos y,\sin x \sin y)$.
那么有$\abs{\cos<\vv{n},\vv{p}>}=\cos 65\du,\abs{\cos<\vv{m},\vv{p}>}=\cos 65\du$.
得到$\cos x=±\cos 65 \du ,    \cos 50 \du\cos x +\sin 50\du\sin x \cos y=±\cos 65\du -----(1)$

1.当$\cos x=\cos 65\du ,\sin x=\sin 65\du$时，代入(1)得
$\cos 50 \du\cos 65\du +\sin 50\du\sin 65\du \cos y=\cos 65\du,\cos y=\frac{\sin^2 25\du}{\cos^2 25\du}$.
$\cos 50 \du\cos 65\du +\sin 50\du\sin 65\du \cos y=-\cos 65\du,\cos y=-1$.
$\vv{p}=(\cos 65\du,\frac{\sin^2 25\du}{\cos 25\du},±\frac{\sqrt{\cos 50 \du}}{\cos 25\du})$，或$\vv{p}=(\cos 65\du,-\sin 65\du,0)$-----(2)

2.当$\cos x=\cos 65\du ,\sin x=-\sin 65\du$时，
$\cos 50 \du\cos 65\du -\sin 50\du\sin 65\du \cos y=\cos 65\du,\cos y=-\frac{\sin^2 25\du}{\cos^2 25\du}$.
$\cos 50 \du\cos 65\du -\sin 50\du\sin 65\du \cos y=-\cos 65\du,\cos y=1$.
得到$\vv{p}$与(2)相同.

3.当$\cos x=-\cos 65\du ,\sin x=\sin 65\du$时，
$-\cos 50 \du\cos 65 \du+\sin 50\du\sin 65\du\cos y=\cos 65\du, \cos y=1$.
$-\cos 50 \du\cos 65\du +\sin 50\du\sin 65\du \cos y=-\cos 65\du,\cos y=-\frac{\sin^2 25\du}{\cos^2 25\du}$.
得到$\vv{p}=(-\cos 65\du,-\frac{\sin^2 25\du}{\cos 25\du},±\frac{\sqrt{\cos 50 \du}}{\cos 25\du})$或$\vv{p}=(-\cos 65\du,\sin 65\du,0)$与(2)互为相反向量.

4.当$\cos x=-\cos 65\du ,\sin x=-\sin 65\du$时，
$-\cos 50 \du\cos 65\du -\sin 50\du\sin 65\du \cos y=\cos 65\du,\cos y=-1$.
$-\cos 50 \du\cos 65\du -\sin 50\du\sin 65\du \cos y=-\cos  65\du,\cos y=\frac{\sin^2 25\du}{\cos^2 25\du}.$
得到的$\vv{p}$同上一条.

综上所得，有三条直线符合要求.   错了n次，终于修改好了.本着“宁可错杀，不可放过”，讨论了4条，结果看，只需要考虑一条.

realnumber

问题：过P点，空间三条直线两两依次成$50\du,60\du,70\du$,则过P点有几条直线与这三条直线所成角都相等.

三线两两可得3个面，这三个面把空间划分8部分，每一部分存在一条射线符合要求(模仿作三角形内心的办法），因此原题一共有4条直线符合要求.
用向量怎么描述？