分式三角函数的最大值

敬畏数学

三角形ABC中，$\sin B=\sqrt{2}\sin A$ ,则$\frac{\sin A}{\sqrt{2}\cos A+\cos B}$的最大值

业余的业余

所求问题等价于求

$f(x)=\cfrac{\sin x}{3-2\sqrt{2}\cos x}\hspace{1in} x\in(0,\pi)$

的最大值。令 $f'(x)=0$, 有 $\cos x=\cfrac {2\sqrt{2}}{3}$, 此时 $\sin x= \cfrac 13$, 代入得最大值 $1$, 此时 $x=\arcsin(\frac 13)$

两个问题等价的说明: 构造$\triangle ABC$, 令 $BC=1, AC=\sqrt{2}$, 角 $C$ 为 $x$, 显然 $x\in (0,\pi)$, 在这个三角形中用余弦定理和正弦定理，可把原问题化为跟帖所求问题。

PS: A,B 我理解为三角形的内角了。

kuing

令
\[y=\frac{\sin A}{\sqrt2\cos A+\cos B},\]则
\[\sin A-\sqrt2y\cos A=y\cos B,\]平方得
\[\bigl(\sin A-\sqrt2y\cos A\bigr)^2=y^2(1-\sin^2B)=y^2(1-2\sin^2A)=y^2(\cos^2A-\sin^2A),\]注意到
\[\bigl(\sin A-\sqrt2y\cos A\bigr)^2\geqslant(\cos^2A-\sin^2A)(2y^2-1),\]从而 `y^2\geqslant2y^2-1`，即 `y^2\leqslant1`。

不难求出：
当 `A=\arctan\sqrt{1/2}`, `B=\pi-\arctan\sqrt2` 时 `y=1`；
当 `A=\pi-\arctan\sqrt{1/2}`, `B=\arctan\sqrt2` 时 `y=-1`，
所以 `y` 的最大最小值分别就是 `\pm1`。

估计会有几何构造的解法

敬畏数学

回复 3# kuing
谢谢！我也想是否可以构造几何解决！没有想出。。。。。。变成方程用辅助角硬撑，算出答案1。您这里用反向柯西简单很多。

其妙

敬畏数学

$ \triangle ABC,\sin B=\sqrt{3} \sin A,$求$ \dfrac{\sin A}{\sqrt{3}\cos A+\cos B} $的最大值

敬畏数学

kuing 发表于 2022-9-4 13:41
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6937

看来可以把根号3变成k来玩。

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敬畏数学 发表于 2022-9-4 14:27
看来可以把根号3变成k来玩。

但是这个根号3两地一样是否有。。。？

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有高手分母乘以对偶式（根号3cosA-cosB），简直就是秒杀。

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链接里的2楼解法也超牛！

敬畏数学

敬畏数学 发表于 2022-9-4 18:42
链接里的2楼解法也超牛！

借用链接2的思路，利用射影定理就是分母就是c（秒杀），其实所求的比值就是sinA/c，下面常规就是余弦定理，二次函数最大值。

kuing

敬畏数学 发表于 2022-9-4 18:35
有高手分母乘以对偶式（根号3cosA-cosB），简直就是秒杀。

原来如此，确实简单：
\begin{align*}
\frac{\sin A}{\sqrt3\cos A+\cos B}&=\frac{\sin A\bigl( \sqrt3\cos A-\cos B \bigr)}{3\cos^2A-1+\sin^2B}\\
&=\frac{\sin B\cos A-\sin A\cos B}{3\cos^2A-1+3\sin^2A}\\
&=\frac{\sin(B-A)}2\\
&\leqslant\frac12.
\end{align*}

kuing

再来一个，还是继续运用“反向柯西” `(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant(ac-bd)^2` 来玩：
\begin{align*}
\cos B&\geqslant-\sqrt{1-\sin^2B}\\
&=-\sqrt{1-3\sin^2A}\\
&=-\sqrt{(3-2)(\cos^2A-2\sin^2A)}\\
&\geqslant-\bigl( \sqrt3\cos A-2\sin A \bigr),
\end{align*}
得到
\[\sqrt3\cos A+\cos B\geqslant2\sin A,\]
所以原式 `\leqslant1/2`。

kuing

值得一提的是，“反向柯西”方法的适用范围更广。

比如改系数：给定常数 `k`, `t>1`，`\triangle ABC` 满足 `\sin B=k\sin A`，求下式的最大值
\[\frac{\sin A}{t\cos A+\cos B}.\]
这时 5# 乘对偶式和 7# 射影定理恐怕都行不通，但“反向柯西”照样：
\begin{align*}
\cos B&\geqslant-\sqrt{1-\sin^2B}\\
&=-\sqrt{1-k^2\sin^2A}\\
&=-\sqrt{\bigl(t^2-(t^2-1)\bigr)\bigl(\cos^2A-(k^2-1)\sin^2A\bigr)}\\
&\geqslant-\bigl( t\cos A-\sqrt{(t^2-1)(k^2-1)}\sin A \bigr),
\end{align*}
得到
\[t\cos A+\cos B\geqslant\sqrt{(t^2-1)(k^2-1)}\sin A,\]
所以
\[\frac{\sin A}{t\cos A+\cos B}\leqslant\frac1{\sqrt{(t^2-1)(k^2-1)}}.\]

isee

kuing 发表于 2022-9-9 02:08
值得一提的是，“反向柯西”方法的适用范围更广。

比如改系数：给定常数 `k`, `t>1`，`\triangle ABC` 满 ...

又一般化了，而且好像以前处理也是用这个不等式吧

力工

前两天做过，看来在网络之下世界真的小。题目有点变化:已知$\triangle ABC,a=\sqrt3b$,求$\frac{sinA}{\sqrt3cosB+cosA}$的最大值。结果是$\frac{\sqrt3}{2}$.我是化一元，消掉$A$，转化为关于$cotB$的函数。

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kuing 发表于 2022-9-9 02:08
值得一提的是，“反向柯西”方法的适用范围更广。

比如改系数：给定常数 `k`, `t>1`，`\triangle ABC` 满 ...

反向可西确实大牛吃遍天下！

isee

kuing 发表于 2022-9-9 01:27
再来一个，还是继续运用“反向柯西” `(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant(ac-bd)^2` 来玩：
\begin{align*}
\cos ...

也可以 Cauchy ,  确实一样，形式处理上，及实质.


题：在三角形 ABC 中，若$\sin B=\sqrt 3\sin A$，则$\dfrac{\sin A}{\sqrt 3\cos A+\cos B}$ 的最大值为____.



依题设条件知$b>a$，即$B>A$亦表明$A$是锐角.  再处理所求式，先化成一元，然后分母有理化.
\begin{align*}
\frac{\sin A}{\sqrt 3\cos A+\cos B}&=\frac{\sin B/\sqrt 3}{\sqrt 3\sqrt{1-\frac {\sin ^2B}3}+\cos B}\\
&=\frac{\sin B\sqrt{3-\sin^2 B}+(-\cos B)\sin B}{2\sqrt 3}\\
&\leqslant \frac{\sqrt{(\sin^2B+(-\cos B)^2)(3-\sin^2 B+\sin^2 B)}}{2\sqrt 3}\\
&=\frac 12.
\end{align*}
取 “=” 时，$$\frac{\sin^2B}{\cos^2B}=\frac{3-\sin^2B}{\sin^2B}=\frac{3+0}{1}\Rightarrow \tan B=\pm \sqrt 3\;\text{舍负 }.$$