求余弦的连乘值

lemondian

如何求下面余弦的连乘值？
$\cos\frac{\pi}{n}\cos\frac{2\pi}{n}\cdots \cos\frac{(n-1)\pi}{n}$

kuing

不是讨论过了吗：forum.php?mod=viewthread&tid=7157

lemondian

回复 2# kuing
哦，原来两年前还是我问过这类问题的。
这两天我又弄了一下，原贴其它的都搞懂了（其中还用到了你的一个结论forum.php?mod=viewthread&tid=3996#pid17381），
但1#这个搞不来呀

abababa

回复 1# lemondian

也是根据复数的根，$z^{2n}-1=0$的根是$z_k=e^{\frac{2k\pi i}{2n}}=e^{\frac{k\pi i}{n}}$，所以
\[z^{2n}-1=\prod_{k=1}^{2n}(z-z_k)\]

因为$z_k,z_{2n-k}$是互为共轭的并且乘积是$1$，和为$e^{\frac{k\pi i}{n}}+e^{-\frac{k\pi i}{n}}=2\cos\frac{k\pi}{n}$，而$(z-e^{\frac{n\pi i}{n}})(z-e^{\frac{2n\pi i}{n}})=z^2-1$，所以上式即
\[z^{2n}-1=(z^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-z_k)(z-\bar{z}_k)=(z^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z^2-2\cos\frac{k\pi}{n}z+1)\]

只要在上式中右边的乘积因子里消去那个$z^2+1$就行了，取$z=i$即可，代入上式就得到
\[(-1)^n-1=-2\cdot(-2i)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{n}\]
就能算出来了。

kuing

回复 4# abababa

挺好嘀方法

abababa

回复 5# kuing

最近总弄$e^{k\pi i}$这样的东西，一下就想到了。一开始是用的$z^n-1$的根，发现只能乘到一半，然后用了$z^{2n}-1$，就全乘到了。

kuing

回复 6# abababa

其实乘到一半就够了，毕竟 `\cos(\pi/n)=-\cos((n-1)\pi/n)` 等。

战巡

回复 1# lemondian


出个大招好了...

\[\cos(\frac{k\pi}{n})=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{n})=\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{k}{n}))\]
按照余元公式
\[\frac{\pi}{\cos(\frac{k\pi}{n})}=\frac{\pi}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{k}{n}))}=\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{k}{n})\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})=\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{n-k}{n})\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})\]
那么
\[\prod_{k=1}^{n-1}\frac{\pi}{\cos(\frac{k\pi}{n})}=\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{n-k}{n})\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})\]
令$n-k=j$，就有
\[=\prod_{j=1}^{n-1}\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{j}{n})\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})\]

注意按照高斯乘积公式，会有
\[\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma(z+\frac{k}{n})=(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}n^{\frac{1-2nz}{2}}\Gamma(nz)\]
那么就有
\[\Gamma(-\frac{1}{2})\prod_{j=1}^{n-1}\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{j}{n})=(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}n^{\frac{1+n}{2}}\Gamma(-\frac{n}{2})\]
以及
\[\Gamma(\frac{1}{2})\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})=(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}n^{\frac{1-n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})\]
于是
\[\Gamma(-\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})\prod_{j=1}^{n-1}\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{j}{n})\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})=(2\pi)^{n-1}n\Gamma(-\frac{n}{2})\Gamma(\frac{n}{2})\]
这里面
\[n\Gamma(-\frac{n}{2})\Gamma(\frac{n}{2})=-2\Gamma(1-\frac{n}{2})\Gamma(\frac{n}{2})=-\frac{2\pi}{\sin(\frac{n\pi}{2})}\]
\[\Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi},\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\]
于是
\[\prod_{j=1}^{n-1}\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{j}{n})\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})=\frac{(2\pi)^{n-1}}{\sin(\frac{n\pi}{2})}\]
最后就有
\[\pi^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\cos(\frac{k\pi}{n})}=\prod_{j=1}^{n-1}\Gamma(-\frac{1}{2}+\frac{j}{n})\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{k}{n})=\frac{(2\pi)^{n-1}}{\sin(\frac{n\pi}{2})}\]
\[\prod_{k=1}^n\cos(\frac{k\pi}{n})=\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{2^{n-1}}\]

lemondian

回复 8# 战巡
果然是大招，完全看不懂！

lemondian

回复 4# abababa
谢谢！