射影点的位置判断

力工

已知平等六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长都相等，则顶点$D_1$在截面$AB_1C$上的射影为三角形$AB_1C$的(  )心。
这道题没有想到正确解法。

kuing

设 `\vv{BA}=\bm a`, `\vv{BB_1}=\bm b`, `\vv{BC}=\bm c`，则有 `\vv{AD_1}=\bm b+\bm c` 及 `\vv{B_1C}=\bm c-\bm b`，于是 `\vv{AD_1}\cdot\vv{B_1C}=\bm c^2-\bm b^2=0`，即 `AD_1\perp B_1C`。

设 `D_1` 在面 `AB_1C` 上的射影为 `P`，则 `D_1P\perp B_1C`，结合刚才得到的 `AD_1\perp B_1C`，即得 `PA\perp B_1C`。

同理可证 `PB_1\perp AC` 以及 `PC\perp AB_1`，所以是垂心。

力工

kuing 发表于 2022-5-17 00:48
设 `\vv{BA}=\bm a`, `\vv{BB_1}=\bm b`, `\vv{BC}=\bm c`，则有 `\vv{AD_1}=\bm b+\bm c` 及 `\vv{B_1C}=\ ...

谢谢酷神！我没想到原来是判断对棱互相垂直。错误想成了外心。

kuing

力工 发表于 2022-5-17 00:58
谢谢酷神！我没想到原来是判断对棱互相垂直。错误想成了外心。

我开始时也考虑过外心，但很快就判断出不是了。
如果是问 B 的射影，那就是外心，因为 |BA|=|BB1|=|BC|。
假如 D1 的射影也是外心，那也应该有 |D1A|=|D1B1|=|D1C|，但这显然不一定，这是三条侧面对角线，虽然棱长相同，但夹角可以不同，对角线就不同了，所以排除外心。
随后就考虑垂心，一下就证出来了。