正整数解 $(a,b)$ 的个数是多少？

APPSYZY

已知 $a,b\in (0,180)\cap\mathbb Z,$ 则关于 $a,b$ 的方程 \[\dfrac{\sin (a+b)^\circ}{\sin a^\circ}=\dfrac{\sin (a+2b)^\circ}{\sin b^\circ}\]的正整数解 $(a,b)$ 的个数是多少？

战巡

方便起见令$a+b=c$，$c$也是整度数，这样就有
\[\frac{\sin(c)}{\sin(c-b)}=\frac{\sin(c+b)}{\sin(b)}\]
\[\sin(c)\sin(b)=\sin(c+b)\sin(c-b)=\frac{1}{2}[\cos(2b)-\cos(2c)]=\sin^2(c)-\sin^2(b)\]
\[\frac{\sin(b)}{\sin(c)}=\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{5})\]
先看第一种
\[\frac{\sin(b)}{\sin(c)}=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\]
此时
\[\sin(b)=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\sin(c)\le \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\]
由于$0<b<180\du$，且$c>b$，这个会有
\[0<b<\arcsin\left(\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\right)=38.1727\du\]
这范围就小多了，里面的整数很有限，接下来一个个试呗
结果如下



可以看到有$b=18,30,36$三个解，这里对应着$b=18$时$c=30,150$，$b=30$时$c=54,126$，以及$b=36$时$c=72,108$，对应的$a$是多少你就自己算吧

另一方面如果
\[\frac{\sin(b)}{\sin(c)}=-\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)\]
那此时会有$c>180$，且
\[\sin(c)=-\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\sin(b)\ge -\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\]
这和上面同理会得到$c=198,210,216$，对应的$b,a$就自己算吧

APPSYZY

战巡 发表于 2022-9-19 21:30
方便起见令$a+b=c$，$c$也是整度数，这样就有
\[\frac{\sin(c)}{\sin(c-b)}=\frac{\sin(c+b)}{\sin(b)}\]
\ ...

在这种情况下使用数学软件进行计算，是否有必要进行误差分析呢？否则如何确保数学软件能够达到正确计算该题的精度？