Q不是非平凡群的半直积

hbghlyj

UTM Armstrong  groups and symmetry Exercise 23.9
$Q$ is not isomorphic to a semidirect product of two non-trivial groups.
这本书中$Q$表示quaternion group $= \left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle $

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假设$Q_8 = \langle a,b \mid a^4, a^2=b^2, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$是子群$N,H$(其中一个为2阶,另一个为4阶)的半直积。
$Q_8$只有一个 $2$ 阶元$a^2$，所以$Q_8$的2阶子群只有$\{1,a^2\}$.
$4$ 阶群只有$C_4$和$V_4$.
$V_4$有 3 个 $2$ 阶元，但$Q_8$只有一个 $2$ 阶元$a^2$，所以 $Q_8$ 的4阶子群必同构于$C_4$。
$C_4$有 1 个 $2$ 阶元（其生成元的平方）所以 $Q_8$ 的子群$C_4$必包含 $a^2$，所以$a^2∈N∩H$。
与$N∩H=\{1\}$矛盾。