一个三角问题

snowblink

已知$\triangle ABC $的角$A,B,C $满足$\tan A\tan B\tan C\leqslant \left [ \tan A \right ] +\left [ \tan B \right ] + \left [ \tan C \right ]$，其中符号$\left [ x \right ] $表示不大于$x$的最大整数，若$A\leqslant B\leqslant C$，则$\tan C-\tan B= $

kuing

注意到三角形中有 `\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C`，于是
\[\tan A+\tan B+\tan C\leqslant[\tan A]+[\tan B]+[\tan C],\]
但是 `x\geqslant[x]` 恒成立，那上式只能取等，并且 `\tan A`, `\tan B`, `\tan C` 均为整数，然后……好像以前撸过类似题……等我找找……

kuing

找到啦，就是这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3941

isee

kuing 发表于 2024-2-26 13:50
注意到三角形中有 `\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C`，于是
\[\tan A+\tan B+\tan C\leqslant[\ta ...

整数后真是有特色~三角分别为\[\arctan 1,\,\arctan 2\,\arctan 3.\]

kuing

上面链接里的 5# 游客说
“三个互不相等的正整数，它们的和与积相等，只能是1，2，3。”
其实“互不相等”可以去掉。