三元分式不等式(安振平老师的题)

力工

已知$a,b,c>0,a+b+c=3$，求证：$\frac{1}{1+a^3+b^3+c^3}+\frac{11}{1+ab+bc+ca}\geqslant 3$.
这是安振平老师的供题，网上的解答也很多，安老师自己也给出了证法，利用柯西，再证$12(a+b+c)^3\geqslant 9(a^3+b^3+c^3)+33(a+b+c)(ab+bc+ca)$.
这肯定对一般的人来说是很难想象的。

lemondian

我也看过安老师的证明过程，其实不需要这样证的，
把这个变形一下会简单好多：
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=27-9(ab+bc+ca)+3abc$。

kuing

你们能把看到的证明先贴一下嘛？

lemondian

kuing 发表于 2024-9-23 14:50
你们能把看到的证明先贴一下嘛？

kuing

lemondian 发表于 2024-9-23 15:03

这说明不等式太弱，没什么意思，或者考虑加强一下

kuing

在条件不变，用相同证法（指分式形柯西）可行的前提下，起码应该加强到
\[\frac1{1+a^3+b^3+c^3}+\frac8{1+ab+bc+ca}\geqslant\frac94,\]
（计算量估计还更小一些）

再强一些
\[\frac1{1+a^3+b^3+c^3}+\frac7{1+ab+bc+ca}\geqslant2\]
也成立，但证法就得换。
（但也不难，你们不妨试试）

kuing

kuing 发表于 2024-9-23 15:19
在条件不变，用相同证法（指分式形柯西）可行的前提下，起码应该加强到
\[\frac1{1+a^3+b^3+c^3}+\frac8{1+ ...

没人鸟我🥺

kuing

一个星期了只好自问自答咯，其实真的没难度。

`a`, `b`, `c>0`, `a+b+c=3`，证
\[\frac1{1+a^3+b^3+c^3}+\frac7{1+ab+bc+ca}\geqslant2.\]

记 `q=ab+bc+ca`，则 `0<q\leqslant3`，由 `(ab+bc+ca)^2\geqslant3abc(a+b+c)` 得 `q^2\geqslant9abc`，于是
\begin{align*}
a^3+b^3+c^3&=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc\\
&\leqslant27-9q+\frac13q^2,
\end{align*}
因此要证原不等式只需证
\[\frac1{28-9q+\frac13q^2}+\frac7{1+q}\geqslant2,\]
左右作差分解为
\[\frac{(q-3)^2(47-2q)}{(84-27q+q^2)(1+q)}\geqslant0,\]
显然成立，即得证。