求数列通项

ljh25252

已知初项和递推：
$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{4a_{n}^2+4a_{n}-1}$$
求 $a_n$ 通项.

采取换元 $b_n=a_n+\frac{1}{2}$ 进行取倒数得到：
$$
\frac{1}{b_{n+1}}=2-\frac{1}{b_n^2}
$$
可以采取三角余弦换元：令 $2\cos\theta_n=b_n,\theta_1=\arccos\frac{1}{3}$ 进一步有 $\theta_{n+1}=\pi-2\theta_n$ 得到通项：
$$
a_n=\frac{1}{2\cos\left[(-2)^{n-1}\left(\arccos\frac{1}{3}-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}\right]}-\frac{1}{2}
$$
这实在是太丑了，应该有个更好的等价的通项公式，比如 $\sec(2\cdot)\sin^2x$ 这种形式，但是怎么从一开始看出来这个换元呢？

ljh25252

发现了一个自然点的思路：
首先见二次方程式先配方获得换元：

$$
a_{n+1}=\frac{1}{4a_n^2+4a_n-1}=\frac{1}{(-2a_n-1)^2-2}
$$

令 $b_n:=-2a_n-1$ 得 $a_n=-\frac{1}{2}b_n-\frac{1}{2}$ .进而

$$
-\frac{b_{n+1}+1}{2}=\frac{1}{b_n^2-2},b_1=-2a_1-1=-3
$$

（tips：等式右边是 $b_n^2-2$ 与常见的 $2-b_n^2$ 形式差一个符号，所以令的是 $-2a_n-1$ 而不是 $2a_n+1$）

化简得到：

$$
b_{n+1}=\frac{b_n^2}{2-b_n^2}
$$

考虑到二倍角公式： $\sec2\alpha=\frac{\sec^2\alpha}{2-\sec^2\alpha}$ ，令 $\sec\theta_n=b_n, \theta_1=\mathrm{arcsec}(-3)$ .有

$$
\sec\theta_{n+1}=\sec(2\theta_n)=\cdots=\sec(2^n\theta_1)
$$

故

$$
a_n=-\frac{1}{2}(1+b_n)=-\frac{1}{2}(1+\sec\theta_n)=-\frac{1}{2}\left[1+\sec\left(2^{n-1}\mathrm{arcsec}(-3)\right)\right]
$$

这也就是提问中所说的 $\sec(2\cdot)$ 的简便的过程。

实际上应该还有一种方法是求出 $c_n$ 满足 $a_n=\frac{c_{n-1}^2}{c_n}$ .不过我没试出来...