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13.5. 考虑左正则作用 $g.:h\mapsto gh$, 则 $g.\in S_{4n+2}$. 其中 $g.$ 将 $(g_1,g_2,\ldots, g_{4n+2})$ 置换为 $(gg_1,gg_2,\ldots, gg_{4n+2})$. 记符号同态 $\phi:G.\to \{\pm 1\},g.\mapsto \mathrm{sgn}(g.)$.
由 Cauchy 定理知存在 $g_0\neq e$ 使得 $g_0^2=e$. 显然置换 $g_0.$ 为 $2n+1$ 个不交对换之积, 从而 $\phi(g_0.)=-1$.
故 $\ker\phi $ 为 $G.$ 的 $2n-1$ 阶子群.
注: 元素 $g$ 作为左正则作用时在右下角加点, 即 $g.$ 表示 $G$ 上的置换函数. |
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