$f(x)=x^3-3x+1$ 三个零点求三连乘积

isee

源自知乎提问

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题干：若 $f(x)=x^3-3x+1$ 的三个零点分别为 $x_1,\,x_2,\,x_3$ 且 $x_1<x_2<x_3$ ，则 $\big(x_1^2-x_2-2\big)\big(x_2^2-x_3-2\big)\big(x_3^2-x_1-2\big)$ 的值为___.

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命题：关于 $x$ 的实系数方程 $x^3+px+q=0$ ——缺二次项——可设 ${\color{blue}{x=y-\frac{p}{3y}}}$ 将方程转化为 ${\color{blue}{y^3-\frac{p^3}{27 y^3}+q=0}}$ 可化二次方程的简单形式.

也可以由方程 $x^3-3x+1=0$ 的结构直由 \begin{gather*}
\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\\[1ex]
\big(2\cos\theta\big)^3-3\big(2\cos\theta\big)-2\cos3\theta=0,
\end{gather*} 与 \[x^3-3x+1=0,\] 对照对应次数，得到 \[x=2\cos\theta,\,2\cos3\theta=-1,\] 进一步 \[x_1=-2\cos20^\circ,\,x_2=2\cos80^\circ,\,x_3=2\cos40^\circ.\]

从而由和差化积公式 \begin{align*}
x_1^2-x_2-2&=4\cos^2 20-2\cos80^\circ-2\\[1ex]
&=2\big(2\cos^2 20-1-\cos80^\circ\big)\\[1ex]
&=2\big(\cos40^\circ-\cos80^\circ\big)\\[1ex]
&=2\cdot\big(-2\sin\frac{40^\circ+80^\circ}2\sin\frac{40^\circ-80^\circ}2\big)\\[1ex]
&=2\sqrt3\sin20^\circ
\end{align*} 同样的可得 \begin{align*}
x_2^2-x_3-2&=-2\sqrt3\sin100^\circ=-2\sqrt3\sin80^\circ,\\[1em]
x_3^2-x_1-2&=2\big(2\cos^2 40-1+\cos20^\circ\big)\\[1ex]
&=2\big(\cos80^\circ+\cos20^\circ\big)\\[1ex]
&=2\cdot\big(2\cos\frac{80^\circ+20^\circ}2\cos\frac{80^\circ-20^\circ}2\big)\\[1ex]
&=2\sqrt3\cos50^\circ\\[1ex]
&=2\sqrt3\sin40^\circ\\[1ex]

\end{align*} 所以 \begin{align*}
&\quad\ \big(x_1^2-x_2-2\big)\big(x_2^2-x_3-2\big)\big(x_3^2-x_1-2\big)\\[1ex]
&=-6\sqrt3\cdot 4\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ\\[1ex]
&=-6\sqrt3\cdot \sin\big(3\times 20^\circ)\\[1ex]
&=-9.
\end{align*}

第一眼以为是高一嘛，韦达定理应该可以的，动笔发现这三根的大小很难用上，干脆求出解吧，在知乎见过多次 $x^3-3x+1=0$ 了，正好是其一个应用.

不过，话说回来，原题中估计是利用 $f(x)=0=f\big(1-\frac 1x\big)$ 构建两根之间的系.

小而妙的题，好玩儿，推荐.

Czhang271828

背景如下: 依照三次单位根的最小多项式 $x^2+x+1$ 取分式线性变换群中的一个 $3$-周期元 $\small\pm \begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$, 对应分式线性变换 $\varphi:t\mapsto\frac{1}{1-t}$. 记
$$
\theta:=\sum_{i=0}^2\varphi^{(i)}(t)=t+\frac{1}{1-t}+\frac{t-1}{t}=\frac{t^3-3t+1}{t(t-1)}.
$$
容易验证 (检验维度) $\mathbb Q(t)/\mathbb Q(\theta)$ 是 Galois 扩张, 且以 $C_3\cong \langle \varphi\rangle$ 为 Galois 群. 这也解释了 $f(t)=t^3-3t+1$ 的由来.

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回到原题. 简单作图知 $\varphi(x_i)=x_{i+1}$. 对任意一个根 $x$, 有
$$
x^2-\varphi(x)-2=\frac{(x-2)(x+1)}{1-x}.
$$
由于 $f(x+a)$ 的常数项是 $f(0+a)=f(a)$, 故原式为
$$
\frac{-f(2)\cdot (-f(-1))}{-(-f(1))}=\frac{3\cdot 3}{-1}=-9.
$$
也可以计算颠倒根大小的结果: 置 $x_2=\varphi(\varphi(x_1))$, 则
$$
x^2-\varphi(\varphi(x))-2=\frac{x^3-3x+1}{x}=0.
$$

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这也提供了另一种命题思路: 找到零化多项式 $\varphi(x_i,x_{i+1})$, 求 $\varphi(x_i,x_{i-1})$.

abababa

设$g(x)=x^2-x-2$，则$f(x)=g(x)(x+1)+3$，所以
\[g(x_1)g(x_2)g(x_3)=\frac{f(x_1)-3}{x_1+1}\cdot\frac{f(x_2)-3}{x_2+1}\cdot\frac{f(x_3)-3}{x_3+1}\]

上式中$f(x_1),f(x_2),f(x_3)$都是零，所以分子是$-27$，分母是对称式$x_1x_2x_3+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1+x_2+x_3+1$，用韦达定理可以求出来。

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/3649277/finding-the-fixed-subfi ... phism-subgroup-of-kx
math.stackexchange.com/questions/1041275/finding-a-fixed-subfield-of-mathbbqt
math.stackexchange.com/questions/2749389/determine-invariant-sub ... -in-operatornameautl
math.stackexchange.com/questions/126994/finding-a-fixed-field-of-a-rational-function-field

Czhang271828 发表于 2024-4-6 03:29
这就是求 $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 有限子群的阶数. 放宽条件: 仅需求得 $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ 有限子群的阶数. 依照有理标准型, $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ 的有限子群一定共轭于某个 $\mathrm{SO}_2(\mathbb R)$ 的有限子群, 也就是单位圆周的有限子群. 由于矩阵 $M\in \mathrm{SO}_2(\mathbb R)$ 的迹是整数, 从而 $2\cos \theta$ 是整数. 这表明 $M$ 的可能阶数是 $\{1,2,3,4,6\}$.

另一种做法是注意到 $\frac{\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)}{\{\pm I\}}\cong\mathrm{PSL}_2(\mathbb Z)\cong \mathbb Z_2\ast \mathbb Z_3$, 再利用 Kurosh 子群定理, 其有限子群的阶数为 $\{1,2,3\}$. 因此 $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 的有限子群阶数只能是 $\{1,2,3,4,6\}$.

Czhang271828 发表于 2024-6-5 04:28
$$
\theta:=\sum_{i=0}^2\varphi^{(i)}(t)=t+\frac{1}{1-t}+\frac{t-1}{t}=\frac{t^3-3t+1}{t(t-1)}.
$$
容易验证 (检验维度) $\mathbb Q(t)/\mathbb Q(\theta)$ 是 Galois 扩张, 且以 $C_3\cong \langle \varphi\rangle$ 为 Galois 群. 这也解释了 $f(t)=t^3-3t+1$ 的由来.

diagonalize{{0,1},{-1,1}}
diagonalize{{1,√3},{-√3,1}}/2
令$\omega=\frac{1}{2}(-1+i \sqrt{3})$
$\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc}-\omega & 0 \\ 0 & -\omega^2\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)\in\mathrm{SO}_2(\mathbb R)$

$g=(t+\omega^2)/(t+\omega)$
$\varphi(g)=(\frac1{1-t}+\omega^2)/(\frac1{1-t}+\omega)=\omega g$
则$\varphi(g^3)=g^3$
$g^3\in\mathbb C(\theta)$
猜測$\mathbb C(g^3)=\mathbb C(\theta)$

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-6-5 04:28
取 $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 一个 $3$-周期元 $\small\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$

$\small\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$的周期是6吧
MatrixPower[{{0,1},{-1,1}},3]
$$\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)^3=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$$
$\small\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$的周期是3

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-6-5 04:28
取 $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 一个 $3$-周期元 $\small\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}$, 对应分式线性变换 $\varphi:t\mapsto\frac{1}{1-t}$.

$\small\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}$对应分式线性变换$t\mapsto\frac{1}{-t-1}$吧