似乎是要用复数法求三角函数 方法求助

facebooker

求:$(1+2\cos\frac{2\pi}{7})(1+2\cos\frac{4\pi}{7})\cdots (1+2\cos\frac{12\pi}{7})=$

kuing

想起了上次这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=6325&pid=32540

记 `t=\cos x`，则
\[\cos7x=T_7(t)=64t^7-112t^5+56t^3-7t,\]因为当 `x\in\{0,2\pi/7,4\pi/7,\ldots,12\pi/7\}` 时 `\cos7x=1`，所以有
\begin{align*}
\cos7x-1&=64t^7-112t^5+56t^3-7t-1\\
&=64(t-1)\left( t-\cos\frac{2\pi}7 \right)\left( t-\cos\frac{4\pi}7 \right)\cdots\left( t-\cos\frac{12\pi}7 \right),
\end{align*}然后令 `x=2\pi/3` 即 `t=-1/2`，得
\[\cos\frac{14\pi}3-1=64\left( -\frac12-1 \right)\frac{\text{所求式}}{2^6},\]可见所求式为 `1`。

其实 `T_7(t)` 的具体表达式并不需要写出来，只要知道它的最高次项系数是 `2^6` 就够。

hejoseph

若整数 $m$、$n$ 互素，则
\[
\begin{aligned}
\prod_{i=0}^{n-1}\left(x+\cos\frac{2mi\pi}{n}\right)&=\frac{\left(-x+\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(-x-\sqrt{x^2-1}\right)^n-2}{(-2)^n}\\
\prod_{i=0}^{n-1}\left(x+\sin\frac{2mi\pi}{n}\right)&=\left\{
\begin{aligned}
&{-}\frac{\left(-x+\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(-x-\sqrt{x^2-1}\right)^n}{2^n}&&n=2k+1\\
&\frac{\left(-x+\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(-x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+2}{2^n}&&n=4k+2\\
&\frac{\left(-x+\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(-x-\sqrt{x^2-1}\right)^n-2}{2^n}&&n=4k
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\]

hejoseph

麻烦函数前面加\，很难吗？不加的话变量多了都分不清楚什么是变量什么是函数

facebooker

回复 4# hejoseph

大佬 哪个地方要加\  刚接触这个 还不熟悉。

青青子衿

回复 5# facebooker
\begin{array}{rl}
\verb|\sin x| & \sin x\\
\verb|\cos x| & \cos x\\
\verb|\tan x| & \tan x\\
\verb|\arcsin x| & \arcsin x\\
\verb|\arccos x| & \arccos x\\
\verb|\arctan x| & \arctan x\\
\end{array}

facebooker

回复 6# 青青子衿

收到 谢谢

lemondian

回复 3# hejoseph
请问：这个结论有证明过程吗？

kuing

回复 8# lemondian

如果你看得懂 2# 的解法，就不难推这个……

由 2# 已经可以看出：设 `t=\cos x`，则有
\[\cos nx-1=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\left( t-\cos\frac{2k\pi}n \right),\]3# 的结论就是将左边化成根式的形式，有
\begin{align*}
\cos nx&=\frac{\cos nx+i\sin nx+\cos nx-i\sin nx}2\\
&=\frac{(\cos x+i\sin x)^n+(\cos x-i\sin x)^n}2\\
&=\frac{\bigl(t+\sqrt{t^2-1}\bigr)^n+\bigl(t-\sqrt{t^2-1}\bigr)^n}2,
\end{align*}代回去即得
\[\prod_{k=0}^{n-1}\left( t-\cos\frac{2k\pi}n \right)=\frac{\bigl(t+\sqrt{t^2-1}\bigr)^n+\bigl(t-\sqrt{t^2-1}\bigr)^n-2}{2^n},\]再作置换 `t\to-x` 就是
\[\prod_{k=0}^{n-1}\left( x+\cos\frac{2k\pi}n \right)=\frac{\bigl(-x+\sqrt{x^2-1}\bigr)^n+\bigl(-x-\sqrt{x^2-1}\bigr)^n-2}{(-2)^n}.\]

hejoseph

回复 9# kuing

其实我法的那个结论对任意 $x\in\mathbb{C}$ 都是成立的。

hejoseph

回复 5# facebooker

凡是已知道的初等函数，数学公式输入时前面加\就可以，例如对数log公式里输入的是\log

facebooker

回复 11# hejoseph

谢谢 我是在草稿里写的 没用\也显示的很正常啊 这是什么情况呢？就说偷懒少写\有时候也能正常显示？

hejoseph

回复 12# facebooker
$ln x$（公式输入 ln x，表示变量 $l$、$n$、$x$ 的乘积）和 $\ln x$（公式输入 \ln x，表示变量 $x$ 的自然对数）能一样吗？

kuing

回复 13# hejoseph

你再看隔壁那帖的这个公式：

你就会明白为啥我现在已经放弃纠正这些细节问题

facebooker

回复 14# kuing

老大别看笑话啊 我就是按照要求加了\ 是不是有点画蛇添足了？对这个真不懂

hejoseph

回复 15# facebooker

    \和函数名之间不要有空格，函数名和变量之间用空格或非变量的字母分开

isee

回复 15# facebooker

数学专用名词前都要加\的，这个就与你打 分式 一样，是 \frac 而不是 frac

facebooker

回复 16# hejoseph

$\ cosA+cosB=cosC \\$  就是这样？不过我看有些人就是每一个都加\
所以给我搞的头昏脑涨的也不知道咋弄是对的

hejoseph

回复 18# facebooker

没看回复吗？“\和函数名之间不要有空格，函数名和变量之间用空格或非变量的字母分开”，你输入的是什么？\ cosA+cosB=cosC \\都不知道你怎么输入的。
你那个地方要输入 \cos A+\cos B=\cos C。

facebooker

回复 19# hejoseph

明白了 原来如此。脑子太笨 理解力不行