分式三角函数的最大值

敬畏数学

三角形ABC中，$ sinB=\sqrt{2} sinA$ ,则$\frac{\sin A}{\sqrt{2}\cos A+\cos B}$的最大值

业余的业余

所求问题等价于求

$f(x)=\cfrac{\sin x}{3-2\sqrt{2}\cos x}\hspace{1in} x\in(0,\pi)$

的最大值。令 $f'(x)=0$, 有 $\cos x=\cfrac {2\sqrt{2}}{3}$, 此时 $\sin x= \cfrac 13$, 代入得最大值 $1$, 此时 $x=\arcsin(\frac 13)$

两个问题等价的说明: 构造$\triangle ABC$, 令 $BC=1, AC=\sqrt{2}$, 角 $C$ 为 $x$, 显然 $x\in (0,\pi)$, 在这个三角形中用余弦定理和正弦定理，可把原问题化为跟帖所求问题。

PS: A,B 我理解为三角形的内角了。

kuing

令
\[y=\frac{\sin A}{\sqrt2\cos A+\cos B},\]则
\[\sin A-\sqrt2y\cos A=y\cos B,\]平方得
\[\bigl(\sin A-\sqrt2y\cos A\bigr)^2=y^2(1-\sin^2B)=y^2(1-2\sin^2A)=y^2(\cos^2A-\sin^2A),\]注意到
\[\bigl(\sin A-\sqrt2y\cos A\bigr)^2\geqslant(\cos^2A-\sin^2A)(2y^2-1),\]从而 `y^2\geqslant2y^2-1`，即 `y^2\leqslant1`。

不难求出：
当 `A=\arctan\sqrt{1/2}`, `B=\pi-\arctan\sqrt2` 时 `y=1`；
当 `A=\pi-\arctan\sqrt{1/2}`, `B=\arctan\sqrt2` 时 `y=-1`，
所以 `y` 的最大最小值分别就是 `\pm1`。

估计会有几何构造的解法

敬畏数学

回复 3# kuing
谢谢！我也想是否可以构造几何解决！没有想出。。。。。。变成方程用辅助角硬撑，算出答案1。您这里用反向柯西简单很多。

其妙